Question

16．中央电视台“星光大道”节目的现场观众来自4所学校，分别在图中的四个区域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ坐定．有4种不同颜色的服装，同一学校的观众必须穿上同种颜色的服装，且相邻两个区域的颜色不同，不相邻区域颜色相同与否不受限制，那么不同着装方法有多少种？

Answer 1

分析 根据题意，按观众的颜色数目不同分三种情况讨论：①四所学校的观众着装颜色各不相同时，即有4种颜色时，②四所学校的观众着装颜色有三种时，即有两所相同时，只能是Ⅰ与Ⅲ，或Ⅱ与Ⅳ，③四所学校的观众着装颜色有两种时，则Ⅰ与Ⅲ相同，同时Ⅱ与Ⅳ相同；分别求出每种情况下得到方法数目，由分类计数原理计算可得答案．

解答 解：根据题意，按观众的颜色数目不同分三种情况讨论：
①四所学校的观众着装颜色各不相同时，有A${\;}_{4}^{4}$=24种方法；
②四所学校的观众着装颜色有三种时，即有两所相同时，只能是Ⅰ与Ⅲ，或Ⅱ与Ⅳ，故有2C${\;}_{4}^{3}$A${\;}_{3}^{3}$=48种方法；
③四所学校的观众着装颜色有两种时，则Ⅰ与Ⅲ相同，同时Ⅱ与Ⅳ相同，故有A${\;}_{4}^{2}$=12种方法．
根据分类加法计数原理知共有24+48+12=84种方法；
答：不同着装方法有84种．

点评 本题考查排列、组合的应用，解题时注意分析图形中四个区域的相邻关系，再结合排列、组合数公式进行计算．