Question

11．已知函数$f（x）=\frac{（sinx+cosx）-|sinx-cosx|}{2}$，则函数f（x）的值域为（　　）

• A． [-1，1]
• B． [-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
• C． [-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，1]
• D． [-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]

Answer 1

分析 由三角函数的知识和分类讨论的思想去绝对值可得函数的值域．

解答 解：当sinx≥cosx即2kπ+$\frac{π}{4}$≤x≤2kπ+$\frac{5π}{4}$（k∈Z）时，
f（x）=$\frac{（sinx+cosx）-（sinx-cosx）}{2}$=cosx∈[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
同理可得当sinx＜cosx即2kπ-$\frac{7π}{4}$≤x≤2kπ-$\frac{3π}{4}$（k∈Z）时，
f（x）=$\frac{（sinx+cosx）-（cosx-sinx）}{2}$=sinx∈（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）；
综合可得函数f（x）的值域为：[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]
故选：B

点评 本题考查函数的值域，涉及三角函数和分类讨论的思想，属中档题．