Question

3．平面几何里有设：直角三角形ABC的两直角边分别为a，b，斜边上的高为h，则$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{1}{{b}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$拓展到空间：设三棱锥A-BCD的三个侧棱两两垂直，其长分别为a，b，c，面BCD上的高为h，则有$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$．

Answer 1

分析 立体几何中的类比推理主要是基本元素之间的类比：平面?空间，点?点或直线，直线?直线或平面，平面图形?平面图形或立体图形，故本题由平面上的直角三角形中的边与高的关系式类比立体中两两垂直的棱的三棱锥中边与高的关系即可．

解答 解：∵A-BCD的三个侧棱两两垂直，
∴AB⊥平面BCD．
由已知有：CD上的高AE=$\frac{bc}{\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}}$，h=AO=$\frac{a•AE}{\sqrt{{a}^{2}+A{E}^{2}}}$，
∴h²=$\frac{{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{{a}^{2}{b}^{2}+{b}^{2}{c}^{2}+{c}^{2}{a}^{2}}$，即$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$．
故答案为：$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}+\frac{1}{{c}^{2}}$=$\frac{1}{{h}^{2}}$．

点评 类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．其思维过程大致是：观察、比较 联想、类推猜测新的结论．