Question

18．已知函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]．
（1）求该函数的定义域；
（2）求该函数的单调增区间．

Answer 1

分析 （1）对于函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]，由sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，可得x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z，由此求得函数的定义域．
（2）本题即求函数t=sin（x+$\frac{π}{4}$）在函数值大于零时的减区间，令2kπ＜x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x的范围，可得结论．

解答 解：（1）对于函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]，由sin（x+$\frac{π}{4}$）＞0，求得x+$\frac{π}{4}$∈（2kπ，2kπ+π），k∈Z，
即 x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），可得函数的定义域为 （2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{3π}{4}$），k∈Z．
（2）函数y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]的增区间，即函数t=sin（x+$\frac{π}{4}$）在函数值大于零时的减区间，
令2kπ＜x+$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，求得x∈（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，可得函数t在函数值大于零时的减区间为（2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．
即 y=log${\;}_{\frac{1}{π}}$[$\sqrt{2}$sin（x+$\frac{π}{4}$）]的增区间为 （2kπ-$\frac{π}{4}$，2kπ+$\frac{π}{4}$]，k∈Z．

点评 本题主要考查正弦函数的单调性、对数函数的单调性和定义域，体现了转化的数学思想，属于中档题．