Question

15．已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），则{a_n}的通项公式是2-$\frac{1}{n}$．

Answer 1

分析 通过对a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2）变形、累加计算即得结论．

解答 解：∵a_n=a_n-1+$\frac{1}{n（n-1）}$（n≥2），
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$（n≥2），
a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{n-2}$-$\frac{1}{n-1}$，
…
a₂-a₁=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$，
累加得：a_n-a₁=$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{n}$，
又∵a₁=1，
∴a_n=a₁+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{n}$=2-$\frac{1}{n}$，
故答案为：2-$\frac{1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，注意解题方法的积累，属于中档题．