Question

（2012•太原模拟）选修4-1：几何证明选讲
如图，已知PA与圆O相切于点A，经过点O的割线PBC交圆O于点B，C，∠APC的平分线分别交AB，AC于点D，E．
（Ⅰ）证明：∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）若AC=AP，求

PC

PA

的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据弦切角定理，得到∠BAP=∠C，结合PE平分∠APC，可得∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE，最后用三角形的外角可得∠ADE=∠AED；
（Ⅱ）根据AC=AP得到∠APC=∠C，结合（I）中的结论可得∠APC=∠C=∠BAP，再在△APC中根据直径BC得到∠PAC=90°+∠BAP，利用三角形内角和定理可得∠C=∠APC=∠BAP=

1

3

×90°=30°．利用直角三角形中正切的定义，得到

CA

AB

=

3

，最后通过内角相等证明出△APC∽△BPA，从而

PC

PA

=

CA

AB

=

3

．

解答：解：（Ⅰ）∵PA是切线，AB是弦，
∴∠BAP=∠C．
又∵∠APD=∠CPE，
∴∠BAP+∠APD=∠C+∠CPE．
∵∠ADE=∠BAP+∠APD，∠AED=∠C+∠CPE，
∴∠ADE=∠AED．…（5分）
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知∠BAP=∠C，
∵∠APC=∠BPA，
∵AC=AP，
∴∠APC=∠C
∴∠APC=∠C=∠BAP．
由三角形内角和定理可知，∠APC+∠C+∠CAP=180°．
∵BC是圆O的直径，
∴∠BAC=90°．
∴∠APC+∠C+∠BAP=180°-90°=90°．
∴∠C=∠APC=∠BAP=

1

3

×90°=30°．
在Rt△ABC中，

1

tanC

=

CA

AB

，即

1

tan30°

=

CA

AB

，
∴

CA

AB

=

3

．
∵在△APC与△BPA中
∠BAP=∠C，∠APB=∠CPA，
∴△APC∽△BPA．
∴

PC

PA

=

CA

AB

．
∴

PC

PA

=

CA

AB

=

3

．   …（10分）

点评：本题综合考查了弦切角、三角形的外角定理、直角三角形中三角函数的定义和相似三角形的性质等知识点，属于中档题．找到题中角的等量关系，计算出Rt△ABC是含有30度的直角三角形，是解决本题的关键所在．