Question

已知边长为

2

的正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角，使D到P的位置．
（1）求直线PA与BC所成的角；
（2）若M为线段BC上的动点，当BM：BC为何值时，平面PAC与平面PAM所成的锐二面角为45°．

Answer 1

分析：（1）取AC中点O，连接PO、OB，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，转化为向量

PA

与

BC

的夹角求解，注意与直线所成角的关系；
（2）设BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），则

BM

=λ

BC

=（-λ，λ，0）），

AM

=

AB

+

BM

=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），可求平面PAM的一个法向量，易知平面PAC的一个法向量为

m

=（1，0，0），
由题意知，|cos＜

n

，

m

＞|=

2

2

，利用向量夹角公式可得关于λ的方程，解出即可；

解答：解：（1）取AC中点O，连接PO、OB，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则P（0，0，1），A（（0，-1，0），B（1，0，0），C（0，1，0），

PA

=（0，-1，-1），

BC

=（-1，1，0），
cos＜

PA

，

BC

＞=

PA • BC

| PA || BC |

=

-1

2 • 2

=-

1

2

，
所以＜

PA

，

BC

＞=120°，直线PA与BC所成的角为60°；
（2）设BM：BC=λ：1（0≤λ＜1），则

BM

=λ

BC

=（-λ，λ，0），

AM

=

AB

+

BM

=（1，1，0）+（-λ，λ，0）=（1-λ，1+λ，0），
设

n

=(x，y，z)为平面PAM的一个法向量，则

n

⊥

PA

，

n

⊥

AM

，
所以

n • PA =0 n • AM =0

，即

-y-z=0 (1-λ)x+(1+λ)y=0

，取

n

=(

1+λ

1-λ

，-1，1)，
平面PAC的一个法向量为

m

=（1，0，0），
当平面PAC与平面PAM所成的锐二面角为45°时，有|cos＜

n

，

m

＞|=

2

2

，即

n • m

| n || m |

=

1+λ 1-λ

( 1+λ 1-λ )2+2

=

2

2

，
解得λ=3-2

2

，
故当BM：BC为3-2

2

时，平面PAC与平面PAM所成的锐二面角为45°．

点评：本题考查二面角的平面角及其求法、异面直线所成角，考查空间向量的运算，考查学生的推理论证能力．