Question

在圆x²+y²=5x内，过点（

5

2

，

3

2

）有n条弦的长度成等差数列，最小弦长为数列的首项a₁，最大弦长为a_n，若公差d∈[

1

6

，

1

3

]，那么n的取值集合为（　　）

A．{4，5，6，7}

B．{4，5，6}

C．{3，4，5，6}

D．{3，4，5}

Answer 1

分析：先求出圆的圆心和半径，根据圆的几何性质计算出过点 (

5

2

，

3

2

)的最短弦长和最长弦长，即等差数列的第一项和第n项，再根据等差数列的公差d∈[

1

6

，

1

3

]，求出n的取值集合．

解答：解：圆x²+y²=5x的圆心为C (

5

2

，0)，半径为r=

5

2

过点P (

5

2

，

3

2

)最短弦的弦长为a₁=2

r2-|PC|2

=4
过点P (

5

2

，

3

2

)最长弦长为圆的直径长a_n=5，
∴4+（n-1）d=5，
d=

1

n-1

，
∵d∈[

1

6

，

1

3

]，
∴

1

6

≤

1

n-1

≤

1

3

，
∴4≤n≤7．
故选A．

点评：本题考察了圆的方程，圆的几何性质及等差数列的通项公式等知识，解题时要学会使用圆的几何性质解决圆的弦长问题，提高解题速度．