Question

2．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$P（{1，\frac{3}{2}}）$，离心率e=$\frac{1}{2}$．
（1）求椭圆C的方程；
（2）不过原点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若AB的中点M在抛物线E：y²=4x上，求直线l的斜率k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件，列出方程求出a，b即可求解椭圆方程．
（2）设出直线方程，A，B，M坐标，联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简求出M，代入抛物线方程，求解即可．

解答 解：（1）椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）经过点$P（{1，\frac{3}{2}}）$，离心率e=$\frac{1}{2}$．
可得$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{9}{4{b}^{2}}=1$，$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{4}$，解得a=2，b=$\sqrt{3}$．
椭圆$C：\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$--------------------3分
（2）设直线l：y=kx+m（m≠0），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），M（x₀，y₀）．-----4分
由$\left\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ 3{x^2}+4{y^2}=12\end{array}\right.$
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0-----6分△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）＞0
即4k²-m²+3＞0 （1）----8分
又${x_1}+{x_2}=-\frac{8km}{{3+4{k^2}}}$
故$M（{-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}}）$
将$M（{-\frac{4km}{{3+4{k^2}}}，\frac{3m}{{3+4{k^2}}}}）$代入y²=4x得${m^2}=-\frac{{16k（{3+4{k^2}}）}}{9}，（{k≠o}）----（2）$-------10分
将（2）代入（1）得：16²k²（3+4k²）＜81
解得$-\frac{{\sqrt{6}}}{8}＜k＜\frac{{\sqrt{6}}}{8}$，且k≠0．即k∈$（{-\frac{{\sqrt{6}}}{8}，0}）∪（{0，\frac{{\sqrt{6}}}{8}}）$．--12分．

点评 本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系以及抛物线方程的应用，考查转化思想以及计算能力．