【题目】设.求最小的正整数n,使得对A的任意11个子集,只要它们中任何5个的并的元素个数都不少于n,则这11个子集中一定存在3个,它们的交非空.
【答案】22
【解析】
n的最小值为22.
首先证明:.令,,
,.
显然,,,,,.
于是,对其中任何三个子集,必有两个同时为或者同时为,其交为空集.对其中任何五个子集,
有
,且任何三个子集的交为空集,故.
其次证明:符合条件.假定存在A的11个子集,它们中任何五个的并不少于22个元素,而任何三个的交都为空集.因每个元素至多属于两个子集,不妨设每个元素恰好属于两个子集(否则,在一些子集中添加一些元素,上述条件仍然成立).由抽屉原理,此11个子集中必有一个子集(设为B)至少含有个元素.又设其他10个子集为,那么,不含B的任何五个子集,都对应A中的至少22个元素,所有不含B的5—子集组一共至少对应个元素.
另一方面,对于元素a,若,则中有两个含有a,于是,a被计算了次;若,则中有一个含有a,于是,a被计算了次.从而, .
由此可得,矛盾.
综上所述,n的最小值为22.
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【题目】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,平面ABCD,平面ABCD,且,G为线段EC上的动点,则下列结论中正确的是______
;该几何体外接球的表面积为;
若G为EC中点,则平面AEF;
的最小值为3.
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【题目】我市正在创建全国文明城市,某高中为了解学生的创文知晓率,按分层抽样的方法从“表演社”、“演讲社”、“围棋社”三个活动小组中随机抽取了6人进行问卷调查,各活动小组人数统计如下图:
(1)从参加问卷调查的6名学生中随机抽取2名,求这2名学生来自同一小组的概率;
(2)从参加问卷调查的6名学生中随机抽取3名,用表示抽得“表演社”小组的学生人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】如图,在圆内接等腰梯形中,已知,对角线、交于点,且图中各条线段长均为正整数,,圆的半径.
(1)求证:图中存在一个三角形,其三边长均为质数且组成等差数列;
(2)若给图中的线(包括圆、梯形、梯形的对角线)作点染色,使、、染上红色,其他点染上红蓝色之一,求证:图中存在三个同色点,两两距离相等且长度为质数.
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【题目】某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系,对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位:分钟)进行调查,将收集的数据分成,,,,,六组,并作出频率分布直方图(如图),将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.
(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表,并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“课外体育达标”与性别有关?
课外体育不达标 | 课外体育达标 | 合计 | |
男 | 60 | ||
女 | 110 | ||
合计 |
(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样,抽取8人,再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查,记“课外体育不达标”的人数为X,求X的分布列和数学期望.参考公式:
P(K2≥k0) | 0.15 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.072 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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