Question

11．已知向量$\overrightarrow{a}$、$\overrightarrow{b}$，求：$\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$的最小值．

Answer 1

分析 运用向量的模的性质：向量的模的和不小于向量和的模，化简计算即可得到最小值．

解答 解：$\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|+|\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|+|\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|}{|\overrightarrow{a}|}$
≥$\frac{|（\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}）+（\frac{1}{2}\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}）|+0}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{\frac{3}{2}|\overrightarrow{a}|}{|\overrightarrow{a}|}$=$\frac{3}{2}$，当且仅当$\overrightarrow{b}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$，取得等号．
即有所求最小值为$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查向量的模的性质，考查运算能力，属于基础题．