Question

19．（1）求函数f（x）=cosx（x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]）的值域；
（2）设f（x）=sin（cosx）（0≤x≤π），求[f（x）]_max和[f（x）]_min．

Answer 1

分析 （1）根据余弦函数的图象和性质先分析函数的单调性，进而求出函数在x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]时的最值，进而可得函数f（x）=cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]的值域；
（2）由0≤x≤π，得t=cosx∈[-1，1]，结合y=sint，t∈[-1，1]为增函数，可得答案．

解答 解（1）∵函数f（x）=cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]，
∴函数f（x）在[$\frac{π}{4}$，π]上为减函数，在[π，$\frac{3}{2}$π]上为增函数，
∴当x=π时，函数f（x）取最小值-1，x=$\frac{π}{4}$时，函数f（x）取最大值$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故函数f（x）=cosx，x∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3}{2}$π]的值域为[-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]；
（2）∵0≤x≤π，故t=cosx∈[-1，1]，
又∵y=sint，t∈[-1，1]为增函数，
故当t=-1时，[f（x）]_min=sin（-1）=-sin1，
故当t=1时，[f（x）]_max=sin1．

点评 本题考查的知识点是正弦函数和余弦函数的图象和性质，熟练掌握余弦函数的图象和性质，是解答的关键．