Question

天文工作者观测到某行星的半径为R₁，自转周期为T₁，它有一颗卫星，轨道半径为R₂，绕行星公转周期为T₂．若万有引力常量为G，求：
（1）该行星的平均密度；
（2）该行星的地表重力加速度；
（3）该行星同步卫星的运行轨道半径．

Answer 1

分析：（1）根据万有引力提供卫星圆周运动的向心力可以列式求出行星的质量M，进一步求密度；
（2）根据重力等于万有引力，列式求得行星的地表重力加速度；
（3）根据万有引力提供向心力列式，求出行星同步卫星的轨道半径．

解答：解：（1）据万有引力提供卫星圆周运动的向心力，有

GMm

R 2 2

=m(

2π

T2

)2R2 ①
得到 M=

4π2R23

GT22

又M=ρ

4

3

πR13，
∴行星的密度 ρ=

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

（2）在行星的地表，有

GMm

R 2 1

=mg，②
有g=

4π2R23

R12T22

（3）对于同步卫星，有

GMm

r2

=m(

2π

T1

)2r，③
由①③解得r=

3	T12 T22

R2
答：
（1）该行星的平均密度为

3π R 3 2

G T 2 2 R 3 1

；
（2）该行星的地表重力加速度为

4π2 R 2 2

R 2 1 T 2 2

；
（3）该行星同步卫星的运行轨道半径为

3	T 2 1 T 2 2

R2．

点评：解决问题的关键根据万有引力提供圆周运动的向心力，及万有引力等于重力，理清解题思路，难度不大．