Question

14．假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体，其表面重力加速度大小为g．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零．则下面给出的距离地球中心的距离为r的位置重力加速度g_r与r的关系图线中可能正确的是（　　）

• A．
• B．
• C．
• D．

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力得出r＞R时，g与r的关系，当r＜R，抓住质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，结合在R-r深度，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，得出g与r的关系，从而确定正确的图线．

解答 解：当r＞R时，根据万有引力等于重力得，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mg$，解得g=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，g与r²成反比．
当r＜R，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，固在深度为R-r的井底，受到地球的万有引力即为半径等于r的球体在其表面产生的万有引力，则有：
$mg′=G\frac{Mm}{{r}^{2}}$，M=$ρ•\frac{4}{3}π{r}^{3}$，解得$g′=\frac{4πGrρ}{3}$，g与r成正比．故B正确，A、C、D错误．
故选：B．

点评 抓住在地球表面重力和万有引力相等，在矿井底部，地球的重力和万有引力相等，要注意在地球内部所谓的地球的质量不是整个地球的质量而是半径为r的球体的质量．