Question

【题目】如图所示，竖直面内的光滑四分之一圆弧轨道AB与光滑的半圆弧轨道BC在B点平滑连接，四分之一圆弧的圆心与C点重合，半圆弧的直径BC沿竖直方向，一个小球在A点正上方某高度处由静止释放，无碰撞地进人轨道，并恰好能到达C点，半圆弧的半径为R,重力加速度为g，求:

（1）运动到B点前和B点后一瞬间对轨道的压力大小之比;

（2）小球从C点飞出后，第一次落到四分之一圆弧轨道上的位置离B点的高度为多少?

（3）若仅将半圆弧轨道的半径增大为3R,圆心仍在过B点的竖直线上，两圆弧轨道仍在B点平滑连接，要使小球第一次运动到半圆弧轨道上时，不会脱离轨道，则小球下落时的位置离B点的高度应满足什么条件?

Answer 1

【答案】（1） （2）（3-）R （3）

【解析】

（1）由于小球刚好能到达C点，则

mg=m

从B到C的过程机械能守恒，则有

2mgR=

设小球到达B点前一瞬间轨道对小球的支持力为 到达B点后一瞬间轨道对小球的支持力为，则有

求得mg

求得mg

根据牛顿第三定律，小球到达B点后一瞬间对轨道的压力

小球到达B点后一瞬间对轨道的压力

因此有

（2）小球从C点飞出做平抛运动，以C点为坐标原点，向下向左建立直角坐标系，设小球第一次落到轨道上的位置坐标为(x，y)

则有

x=

y=gt

x+y=(2R)

求得

y=（

落点离B点的高度

h=2R-y=（3-）R

（3）设小球下落点离B点的高度为时，小球刚好能运动到半圆弧最高点，设此时在最高点的速度为v，

则根据牛顿第二定律有

mg=

根据机械能守恒定律有

mg=mv+6mgR

求得

设小球下落点离B点的高度为，小球刚好能运动到半圆弧轨道上与圆心等高的位置，根据机械能守恒定律

mg

可得=3R

要使小球第一次运动到半圆弧轨道上时，不会脱离轨道，则小球下落时的位置离B点的高度h应满足：或