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(04年江苏卷)(16分)一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上,一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下,随后又追赶并向前跳上雪橇;其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇,狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V,则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度,V+u为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向,则V为正值,u为负值)。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇,雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/su的大小为4m/sM=30kgm=10kg

(1)求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小;

(2)求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。(供使用但不一定用到的对数值:lg2=O.301,lg3=0.477)

解析

(1)设雪橇运动的方向为正方向,狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1,根据动量守恒定律,有    

 

狗第1次跳上雪橇时,雪橇与狗的共同速度满足  

 

可解得    

 

 

代入,得  

 

(2)解法(一)

 

设雪橇运动的方向为正方向,狗第(n-1)次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn-1,则狗第(n-1)次跳上雪橇后的速度满足 

 

这样,狗n次跳下雪橇后,雪橇的速度为Vn满足 

 

解得 

 

狗追不上雪橇的条件是  Vn

 

可化为  

 

        最后可求得  

 

代入数据,得 

 

狗最多能跳上雪橇3次

 

雪橇最终的速度大小为         V4=5.625m/s

 

解法(二)

 

设雪橇运动的方向为正方向。狗第i次跳下雪橇后,雪橇的速度为Vi,狗的速度为Vi+u;狗第i次跳上雪橇后,雪橇和狗的共同速度为,由动量守恒定律可得

 

  第一次跳下雪橇:MV1+m(V1+u)=0

 

                  V1=-

 

  第一次跳上雪橇:MV1+mv=(M+m)

 

  第二次跳下雪橇:(M+m)=MV2+m(V2+u)

 

                  V2=

 

  第三次跳下雪橇:(M+m)V3+M+m(+u)

                  =

  第四次跳下雪橇: (M+m)=MV4+m(V4+u)

 

 

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度,狗将不可能追上雪橇。因此,狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s。

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(04年江苏卷)(15分)如图所示,半径为R、圆心为O的大圆环固定在竖直平面内,两个轻质小圆环套在大圆环上。一根轻质长绳穿过两个小圆环,它的两端都系上质量为m的重物,忽略小圆环的大小。

 

(1)将两个小圆环固定在大圆环竖直对称轴的两侧θ=30°的位置上(如图)。在―两个小圆环间绳子的中点C处,挂上一个质量M=m的重物,使两个小圆环间的绳子水平,然后无初速释放重物M。设绳子与大、小圆环间的摩擦均可忽略,求重物M下降的最大距离。

(2)若不挂重物M,小圆环可以在大圆环上自由移动,且绳子与大、小圆环间及大、小圆环之间的摩擦均可以忽略,问两个小圆环分别在哪些位置时,系统可处于平衡状态? 

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(2)请利用(1)的结果,推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式。

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      (1)求打在荧光屏O点的电子速度的大小。

      (2)推导出电子的比荷的表达式。

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