Question

（04年江苏卷）(16分)一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u（其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg。

（1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小；

（2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。（供使用但不一定用到的对数值：lg2=O.301，lg3=0.477)

Answer 1

解析：

（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V₁，根据动量守恒定律，有    

 

狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度满足  

 

可解得    

 

将

 

代入，得  

 

（2）解法（一）：

 

设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为V_n－1，则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度满足 

 

这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_n满足 

 

解得 

 

狗追不上雪橇的条件是  V_n≥

 

可化为  

 

        最后可求得  

 

代入数据，得 

 

狗最多能跳上雪橇3次

 

雪橇最终的速度大小为         V₄=5.625m/s

 

解法（二）：

 

设雪橇运动的方向为正方向。狗第i次跳下雪橇后，雪橇的速度为V_i，狗的速度为V_i+u；狗第i次跳上雪橇后，雪橇和狗的共同速度为，由动量守恒定律可得

 

  第一次跳下雪橇：MV₁+m（V₁+u）=0

 

                  V₁=－

 

  第一次跳上雪橇：MV₁+mv=（M+m）

 

  第二次跳下雪橇：（M+m）=MV₂+m（V₂+u）

 

                  V₂=

 

  第三次跳下雪橇：（M+m）V₃+M+m（+u）

                  =

  第四次跳下雪橇： （M+m）=MV₄+m（V₄+u）

 

 

此时雪橇的速度已大于狗追赶的速度，狗将不可能追上雪橇。因此，狗最多能跳上雪橇3次。雪橇最终的速度大小为5.625m/s。