Question

9．如图所示，位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道与之相切的圆形轨道连接而成，圆形轨道的半径为R．一质量为m的小物块从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆形轨道运动．要求物块能通过圆形轨道最高点，（g为重力加速度）．求：
（1）物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h至少为多少？
（2）若小物块刚好通过圆形轨道最高点，则在运动过程中对圆形轨道的最大压力为多大？

Answer 1

分析 （1）物块恰好能通过圆形轨道最高点时，由重力提供向心力，由牛顿第二定律求出最高点的临界速度，再根据机械能守恒定律求解h的最小值．
（2）小物块刚好通过圆形轨道最高点，过圆周最低点对圆形轨道的压力最大，根据牛顿第二定律和机械能守恒求解．

解答 解：（1）设物块恰能以速度v₁过圆周轨道最高点．
在圆轨道最高点有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$…①
由机械能守恒定律得：mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₁²…②
由①②式得：h=2.5R，即高度h至少要2.5R．
（2）小物块刚好通过圆形轨道最高点，过圆周最低点对圆形轨道的压力最大，设物块过圆周最低点时速度为v₂．
从下滑到最低点的过程，由机械能守恒定律得：mgh=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv₂²…③
在最高点，对物块，由牛顿第二定律得：N-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$…④
联立解得：圆形轨道对物块最大的支持力：N=6mg
由牛顿第三定律得，在运动过程中对圆形轨道的最大压力为6mg．
答：（1）物块初始位置相对于圆形轨道底部的高度h至少为2.5R．
（2）若小物块刚好通过圆形轨道最高点，则在运动过程中对圆形轨道的最大压力为6mg．

点评 本题考查机械能守恒及竖直面内的圆周运动，要选择合适的过程，并注意竖直面内圆周运动的临界条件即可求解．