Question

AB

是竖直平面内的四分之一圆弧轨道，在下端B与水平直轨道相切，如图所示，一小球自A点起由静止开始沿轨道下滑，已知圆轨道半径为R，小球的质量为m，不计各处摩擦，求：
（1）小球运动到B点时的动能；
（2）小球下滑以距水平轨道的高度为

1

2

R时速度的大小和方向；
（3）小球经过圆弧轨道的B点时所受轨道支持力N_B是多大？

Answer 1

分析：（1）不计摩擦力，小球在圆弧轨道下滑过程中机械能守恒，即可由机械能守恒定律求解到B点的动能；
（2）根据机械能守恒定律求出速度的大小，由几何关系求出速度的方向；
（3）小球经过圆弧轨道的B点时，由轨道的支持力和重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律求解支持力．

解答：解：（1）不计摩擦力，小球在圆弧轨道下滑过程中机械能守恒，则得小球运动到B点时的动能：E_k=mgR．
（2）设小球下滑以距水平轨道的高度为

1

2

R时速度的大小为v，与竖直方向的夹角为α，则：mg?

1

2

R=

1

2

mv2，得v=

gR

根据几何知识得：sinα=

1 2 R

R

=

1

2

，得α=30°
（3）在B点，有：N_B-mg=m

v 2 B

R

又：E_k=

1

2

m

v

2 B

解得：N_B=3mg
答：（1）小球运动到B点时的动能是mgR；
（2）小球下滑以距水平轨道的高度为

1

2

R时速度的大小为

gR

，方向与竖直方向成30°；
（3）小球经过圆弧轨道的B点时所受轨道支持力N_B是3mg．

点评：解决本题的关键知道只有重力做功，机械能守恒，物体经过B点时，由合力提供向心力．