Question

如图所示，在Oxy平面的第一象限和第二象限区域内，分别存在场强大小均为E的匀强电场I和Ⅱ，电场I的方向沿x轴正方向，电场Ⅱ的方向沿y轴的正方向，在第三象限内存在着垂直于Oxy平面的匀强磁场Ⅲ，Q点的坐标为（-x₀，0），已知电子的电量为-e，质量为m（不计电子所受重力）。
（1）在第一象限内适当位置由静止释放电子，电子经匀强电场I和Ⅱ后恰能通过Q点，求释放点的位置坐标x、y应满足的关系式；
（2）若要电子经匀强电场I和Ⅱ后过Q点时动能最小，电子应从第一象限内的哪点由静止释放？求该点的位置和过Q点时的最小动能；
（3）在满足条件（2）的情况下，若想使电子经过Q后再次到达y，轴时离坐标原点的距离为x₀，求第三象限内的匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向。

Answer 1

解：（1）设电子从第一象限内坐标为（x，y）处由静止释放能过Q点，到达y轴时的速度v₀，由动能定理得：
  ①
若能到达Q，则应满足  ②
x₀=v₀t  ③
  ④
联立①②③④得  ⑤ 
（2）由动能定理得：电子从P由静止释放，经匀强电场I 和Ⅱ后过Q点动能：
E_k=eE(x+y)  ⑥
而（当x=y时取“=”）⑦
由⑤⑥⑦得： 
当时取“=”⑧
所以电子从第一象限内的P点由静止释放过Q 点时动能最小，最小动能是eEx₀
（3）若区域Ⅲ中的匀强磁场方向垂直纸面向里，则电子左偏，不会再到达y轴，所以匀强磁场方向垂直纸面向外。运动轨迹如图，则：

而
在满足条件（2）的情况下
所以θ=45° ⑨
设在区域Ⅲ中做匀速圆周运动的半径为r，到达y轴上的A点，结合题中条件可推知，电子在磁场中运动的轨迹应为以QA为直径的半圆，OA=x₀，由几何知识知：
  ⑩
设到达Q点的速度为v₁，则 
解得：
根据牛顿第二定律：，解得 
把v₁和r的值代入，第三象限内的匀强磁场的磁感应强度