Question

如图所示，在光滑绝缘水平面上有直角坐标系xoy，将半径为R=0.4m，内径很小、内壁光滑、管壁极薄的圆弧形绝缘管AB水平固定在第二象限内，它的A端和圆心都在y轴上，B端在x轴上，与y轴负方向夹角θ=60º。在坐标系的第一、四象限不同区域内存在着四个垂直于水平面的匀强磁场， a、b、c为磁场的理想分界线，它们的直线方程分别为；在a、b所围的区域Ⅰ和b、c所围的区域Ⅱ内的磁感应强度分别为、，第一、四象限其它区域内磁感应强度均为。当一质量m =1.2×10^﹣5、电荷量q =1.0×10^﹣6C，直径略小于绝缘管内径的带正电小球，自绝缘管A端以v =2.0×10^{﹣2 m/s}的速度垂直y轴射入管中，在以后的运动过程中，小球能垂直通过c、a，并又能以垂直于y轴的速度进入绝缘管而做周期性运动。求：
（1）的大小和方向；
（2）、的大小和方向；
（3）在运动的一个周期内，小球在经过第一、四象限的过程中，在区域Ⅰ、Ⅱ内运动的时间与在区域Ⅰ、Ⅱ外运动的时间之比。 

Answer 1

（1）T 方向垂直水平面向下（2） （3）

（1）小球在第一象限过a做半径为R的匀速圆周运动
由牛顿第二定律有：       （2分）
解得：         ①
代入数据得：T        （2分）
由左手定则知方向垂直水平面向下.（2分）

（2）要使小球不停的做周期性运动，则区域Ⅰ、Ⅱ内小球运动的半径应相等，区域Ⅰ、Ⅱ的磁感应强度应等大反向，的方向为垂直水平面向下，的方向为垂直水平面向上                   （2分）
小球做周期性运动的径迹如图甲.
设在区域Ⅱ、Ⅰ内小球的圆心为、，小球圆周运动的半径为，偏转角为，如图乙所示.
由几何知识知：②（1分）

     ③（1分）
             ④（1分）
解②③④得          ⑤（2分）
                      （2分）
                    ⑥（1分）
解④⑤得            
则有：  （2分）
（3）由知：
小球在第4象限过c以前做匀速圆周运动时间为        ⑦（2分）
小球在区域Ⅰ、区域Ⅱ做匀速圆周运动时间共为        ⑧（1分）
小球在第1象限区域Ⅰ以上做匀速圆周运动时间为      ⑨（1分）
设在运动的一个周期内，小球在通过第一、四象限的过程中，在区域Ⅰ、Ⅱ内运动的时间与在区域Ⅰ、Ⅱ外时间之比为 则                    ⑩

解⑤⑥⑦⑧⑨⑩得             （2分）