Question

16．如图所示，质量为m的导体棒ab的电阻为r，水平放在相距为l的足够长竖直光滑金属导轨上．导轨平面处于磁感应强度大小为B、方向垂直于导轨平面向外的匀强磁场中．导轨上方与一可变电阻R连接，导轨电阻不计，导体棒与导轨始终接触良好．调节可变电阻的阻值为R=3r，由静止释放导体棒，当棒下滑距离h时开始做匀速运动，重力加速度为g．求：
（1）棒匀速下滑的速率v；
（2）从ab棒静止开始到达到匀速运动的过程中电阻R上产生的电热．
（3）自由释放ab棒后，当棒的加速度达a=$\frac{g}{2}$时，棒的速度为多少？若以此时刻作为计时起点，若要使ab棒以后一直维持匀加速直线运动，试定性画出可变电阻R的阻值随时间的变化关系图象．

Answer 1

分析 （1）根据平衡，结合切割产生的感应电动势公式、欧姆定律和安培力公式求出棒匀速下滑的速度大小．
（2）根据能量守恒求出整个回路产生的热量，从而得出电阻R上产生的热量．
（3）根据牛顿第二定律，结合安培力的经验表达式，求出棒的速度大小．结合牛顿第二定律的表达式得出R与t的关系式，从而定性地作出R-t图线．

解答 解：（1）棒匀速下滑时，有：mg=BIl，
又I=$\frac{Blv}{R+r}$，
整理得，mg=$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}$，
解得v=$\frac{mg（R+r）}{{B}^{2}{l}^{2}}$=$\frac{4mgr}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（2）由能量守恒定律可得，mgh=$\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$，
解得整个回路产生的热量Q=$m（gh-\frac{8{m}^{2}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}）$，
则电阻R上产生的电热${Q}_{R}=\frac{R}{R+r}Q$=$m（\frac{3}{4}gh-\frac{6{m}^{2}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}）$．
（3）根据牛顿第二定律得，mg-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}v}{R+r}=ma$=$\frac{1}{2}mg$，解得v=$\frac{2mgr}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
根据mg-$\frac{{B}^{2}{l}^{2}（v+\frac{g}{2}t）}{R+r}$=ma=$\frac{1}{2}mg$得，R=$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}（v+\frac{g}{2}t）}{mg}-r$．
R-t图线如图所示．
答：（1）棒匀速下滑的速率为$\frac{4mgr}{{B}^{2}{l}^{2}}$．
（2）从ab棒静止开始到达到匀速运动的过程中电阻R上产生的电热为$m（\frac{3}{4}gh-\frac{6{m}^{2}{g}^{2}{r}^{2}}{{B}^{4}{l}^{4}}）$．
（3）棒的速度为$\frac{2mgr}{{B}^{2}{l}^{2}}$，R-t图线如图所示．

点评 本题考查了电磁感应和力学和能量的综合运用，掌握切割产生的感应电动势公式、安培力公式和闭合电路欧姆定律，对于安培力的经验表达式F=$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{{R}_{总}}$，要熟记，并能灵活运用．