Question

5．假设地球是一半径为R，质量分布均匀的球体，设想在地下以地心为圆心、半径为r处开凿一圆形隧道，在隧道内有一小球绕地心做匀速圆周运动，且对隧道内外壁的压力为零，如图所示．已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，地球的第一宇宙速度为v₁，小球的线速度为v₂，则$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$等于（　　）

• A． $\frac{r}{R}$
• B． $\frac{{r}^{2}}{{R}^{2}}$
• C． $\frac{R}{r}$
• D． $\frac{{R}^{2}}{{r}^{2}}$

Answer 1

分析 在隧道内有一小球绕地心做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，可以解出速度与轨道半径的关系，近地卫星的轨道半径等于地球半径，根据万有引力提供向心力，可以得到同样形式的关系式．用密度和体积表示施加引力的球体的质量，进一步计算出速度与轨道半径的关系，再计算其比值．

解答 解：根据万有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{R}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{R}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，又因为$M=ρ•\frac{4}{3}π{R}^{3}$，所以$v=\sqrt{\frac{4}{3}πGρ{R}^{2}}$，有v∝R，所以$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}=\frac{R}{r}$，故C正确、ABD错误．
故选：C．

点评 本题要掌握万有引力提供向心力，结合质量和密度的关系，能够解出速度与半径的关系．