Question

如图所示，AB为固定在竖直平面内粗糙倾斜轨道，BC为光滑水平轨道，CD为固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道，且AB与BC通过一小段光滑弧形轨道相连，BC与弧CD相切．已知AB长为L=10m，倾角θ=37°，BC长s=

35

9

m，CD弧的半径为R=

25

12

m，O为其圆心，∠COD=143°．整个装置处在水平向左的匀强电场中，电场强度大小为E=1×10³N/C．一质量为m=0.4kg、电荷量为q=+3×10 ^-3C的物体从A点以初速度v_A=15m/s沿AB轨道开始运动．若物体与轨道AB间的动摩擦因数为μ=0.2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s²，物体运动过程中电荷量不变．求
（1）物体在AB轨道上运动时，重力和电场力对物体所做的总功；
（2）物体能否到达D点；
（3）物体离开CD轨道后运动的最高点相对于O点的水平距离x和竖直距离y．

Answer 1

分析：（1）匀强电场方向水平向左，物体所受的电场力水平向左，与重力和合力大小为F=

(mg)2+(qE)2

，求出合力与竖直方向的夹角α，tanα=

qE

F

，再求解重力和电场力对物体所做的总功；
（2）设物体能到D点，对物体由A到D的过程，由动能定理求出物体到达D点的速度，与临界速度

gR

比较，分析能否到达D点；
（3）物体刚要离开轨道时轨道对物体的弹力为零，由牛顿第二定律根据动能定理研究A到D的过程，求出物体经过D点的速度．物体离开轨道时做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，由位移公式求出最高点相对于O点的水平距离x和竖直距离y．

解答：解：（1）物体所受重力和电场力的合力大小为
  F=

(mg)2+(qE)2

=5N，
设合力与竖直方向的夹角为α，则tanα=

qE

F

=

3

5

，
解得，α=37°，
由几何知识得知，重力和电场力的合力与斜面AB垂直，所以物体在轨道AB上运动时重力和电场力对物体做的总功为W=0．
（2）D点为CD轨道上的等效最高点，设物体能到D点，其速度为v_D
对物体由A到D的过程，由动能定理得
-μFL-qE（s+Rsinα）-mg（R+Rcosα）=

1

2

m

v

2 D

-

1

2

m

v

2 A

设物体刚能到D点时速度为v₀
由牛顿第二定律得
   F=m

v 2 0

R

解得v₀＞v_D
因此物体不能到达D点．
（3）物体刚要离开轨道时轨道对物体的弹力为零，设此时物体位置与O点连线与竖直方向的夹角为β，物体的速度为v
由牛顿第二定律得
   mgcosβ+qEsinβ=m

v2

R

-μFL-qE（s+Rsinβ）-mg（R+Rcosβ）=

1

2

mv2-

1

2

m

v

2 A

解得，v=5m/s，sinβ=0.8
物体离开轨道时做斜上抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做竖直上抛运动，设物体到达最高点的时间为t，
则有
  vsinβ=gt，得t=0.4s
物体运动的最高点相对于O点的水平距离x=vcosβt+

1

2

qE

m

t2-Rsinβ=

2

15

m
和竖直距离y=

1

2

vsinβt+Rcosβ=2.05m
答：
（1）物体在AB轨道上运动时，重力和电场力对物体所做的总功是0；
（2）物体不能到达D点；
（3）物体离开CD轨道后运动的最高点相对于O点的水平距离x是

2

15

m，竖直距离y是2.05m．

点评：本题运用牛顿第二定律和运动学公式结合研究带电体在电场力和重力场的复合场中运动问题，难点是确定物体离开轨道的位置，抓住此时轨道的弹力为零，由牛顿第二定律研究．