Question

4．如图所示，轻质弹簧一端固定在水平面上O点的转轴上，另一端与一质量为m、套在粗糙固定直杆A处的小球（可视为质点）相连，直杆的倾角为30°，OA=OC，B为AC的中点，OB等于弹簧原长．小球从A处由静止开始下滑，初始加速度大小为a_A，第一次经过B处的速度大小为v，运动到C处速度为0，后又以大小为a_C的初始加速度由静止开始向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g．下列说法正确的是（　　）

• A． 小球可以返回到出发点A处
• B． 撤去弹簧，小球可以在直杆上处于静止
• C． 弹簧具有的最大弹性势能为$\frac{1}{2}m{v^2}$
• D． a_A-a_C=g

Answer 1

分析 根据重力沿斜面向下的分力与最大静摩擦力的关系，判断出撤去弹簧，小球在直杆上不能处于静止．对小球A到B的过程和A到C的过程，分别根据能量守恒定律列式，可求得弹簧具有的最大弹性势能，由牛顿第二定律研究A、C两点的加速度，相比较可得到a_A-a_C=g．

解答 解：AC、设小球从A运动到B的过程克服摩擦力做功为W_f，AB间的竖直高度为h，小球的质量为m，弹簧具有的最大弹性势能为E_p．
根据能量守恒定律得：
对于小球A到B的过程有：mgh+E_p=$\frac{1}{2}$mv²+W_f，
A到C的过程有：2mgh+E_p=2W_f+E_p，解得：W_f=mgh，E_p=$\frac{1}{2}$mv²．
小球从C点向上运动时，假设能返回到A点，则由能量守恒定律得：
    E_p=2W_f+2mgh+E_p，该式违反了能量守恒定律，可知小球不能返回到出发点A处．故A错误，C正确．
B、设从A运动到C摩擦力的平均值为$\overline{f}$，AB=s，由W_f=mgh得：$\overline{f}$s=mgssin30°
在B点，摩擦力 f=μmgcos30°，由于弹簧对小球有拉力（除B点外），小球对杆的压力大于μmgcos30°，所以$\overline{f}$＞μmgcos30°
可得 mgsin30°＞μmgcos30°，因此撤去弹簧，小球不能在直杆上处于静止．故B错误．
D、根据牛顿第二定律得：
在A点有：Fcos30°+mgsin30°-f=ma_A；
在C点有：Fcos30°-f-mgsin30°=ma_C；
两式相减得：a_A-a_C=g．故D正确．
故选：CD

点评 解决本题的关键要灵活运用能量守恒定律，对系统分段列式，要注意本题中小球的机械能不守恒，也不能只对小球运用能量守恒定律列方程，而要对弹簧与小球组成的系统列能量守恒的方程．