如图所示，一块质量为M=2kg，长为L的均质板静止在很长的光滑水平桌面上，板的左端静止摆放质量为m=1kg的小物体（可视为质点），M和m之间的为动摩擦因数为μ=0.2．在小物体m上的O点连接一根很长的轻质细绳，细绳跨过位于桌边的定滑轮．t=0s时刻某人以恒定拉力F=3.3N向下拉绳，t₁=2s时刻细绳突然从O处断开，最后小物体m刚好能到长木板M的最右端（定滑轮光滑，长木板右端和定滑轮之间的距离足够长，g取10m/s²）．求：
（1）细绳没断开时，M和m的加速度各是多少？
（2）当 m到达长木板M右端以后M的速度是多少？
（3）长木板M的长度L是多少？

解：
（1）细绳没断开时，两物体受力如图．根据牛顿第二定律得
对m：F-μmg=ma₁，得到a₁=1.3m/s²．
对M：f=Ma₂，得到a₂= $\text{[math]}$ =1m/s²．

（2）t₁=2s时刻细绳突然从O处断开时，两物体的速度分别为
对m：v₁=a₁t=2.6m/s，
对M：v₂=a₂t=2m/s．
细绳断开后，两物体组成的系统动量守恒，设m到达长木板M右端以后M的速度为V．则有
mv₁+Mv₂=（M+m）V
得到V= $\text{[math]}$ =2.2m/s．
（3）在细绳断开前，两物体相对位移大小为x₁= $\text{[math]}$
在细绳断开后，两物体相对位移大小为x₂．根据能量守恒定律得
μmgx₂= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
所以长木板M的长度L=x₁+x₂
代入解得L=0.66m．
答：（1）细绳没断开时，M和m的加速度分别是1.3m/s²和1m/s²．
（2）当m到达长木板M右端以后M的速度是2.2m/s．
（3）长木板M的长度L是0.66m．
分析：（1）细绳没断开时，m所受的合力等于拉力与滑动摩擦力的合力，M所受的合力等于m对它的滑动摩擦力，根据牛顿第二定律求解加速度．
（2）由速度公式求出细绳从O处断开时两物体的速度．细绳断开后，两物体组成的系统合外力为零，动量守恒，则动量守恒定律求解m到达长木板M右端以后M的速度．
（3）长木板M的长度L等于m相对于M运动的位移大小，分别根据运动学公式和能量守恒定律求出细绳断开前后相对位移，再求板长．
点评：本题是较为复杂的动力学问题，本题采用牛顿定律、运动学公式、动量守恒定律和能量守恒结合求解的，也可以就根据牛顿定律和运动学公式求解．

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如图所示，一块质量为M，长为L的均质长木板放在很长的光滑水平桌面上，板的左端有一质量为m的小物体（可视为质点），物体上连接一根很长的细绳，细绳跨过位于桌边的定滑轮．某人以恒定的速率v向下拉绳，物体最多只能到达板的中点，已知整个过程板的右端都不会到达桌边定滑轮处．试求：
（1）当物体刚达木板中点时木板的位移；
（2）求m与M之间摩擦因数
（3）若木板与桌面之间有摩擦，为使物体能达到板的右端，板与桌面之间的动摩擦因数应满足什么条件？

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①弹簧的劲度系数
②弹簧的最大弹性势能
③木板和小物块之间的动摩擦因数
④木板和小物块组成的系统最终损失的机械能．

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

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