Question

如图所示，O，P，Q三点在同一水平直线上，OP=L，边长为L的正方形PQMN区域内（含边界）有垂直纸面向外的匀强磁场，左侧有水平向右的匀强电场，场强大小为E，质量为m，电荷量为q的带正电粒子从O点由静止开始释放，带电粒子恰好从M点离开磁场．不计带电粒子重力，求：

（1）磁感应强度大小B；

（2）粒子从O点运动到M点经历的时间；

（3）若图中电场方向改为向下，场强大小未知，匀强磁场的磁感应强度为原来的4倍，当粒子从O点以水平初速度v．射入电场，从PN的中点进入磁场，从N点射出磁场，求带电粒子的初速度v．

Answer 1

考点：  带电粒子在匀强磁场中的运动；带电粒子在匀强电场中的运动．

专题：  带电粒子在磁场中的运动专题．

分析：  （1）带电粒子在电场中做加速运动，在磁场中做运动圆周运动，先根据动能定理求出粒子加速获得的速度，由洛伦兹力和向心力公式列式，联立方程即可求解B；

（2）根据匀加速直线运动位移时间公式求出粒子在电场中运动的时间，根据粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期公式求出在磁场中运动的时间，两者之和即为总时间；

（3）若图中电场方向改为向下，粒子在电场中做类平抛运动．粒子从PN的中点进入磁场时，速度的反向延长线交水平位移的中点，由速度的偏向角．由几何知识求出磁场中轨迹半径，由洛伦兹力提供向心力，列式求解初速度v．

解答：  解：（1）设粒子运动到PN边时的速度大小为v．

在电场中，由动能定理得：qEL=mv²…①

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨迹半径为：r=L…②

根据洛伦兹力提供向心力，得：Bqv=m…③

联立①②③式解得：B=

（2）设粒子在匀强电场中运动的时间为t₁，有：

  L=at₁²=t₁²…④

解得：t₁=

粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为：T=，运动时间为：t₂=，

所以有：t₂=

所以粒子从O点运动到M点经历的时间为：t=t₁+t₂=+=…⑤

（3）根据题意作出粒子的运动轨迹，如下图所示，设此时粒子进入磁场的速度为v，与水平方向的夹角为θ，粒子此时在电场中做类平抛运动，即在OP方向上匀速运动，有：v₀=vcosθ… ⑥

根据平抛运动规律可知，速度v的反向延长线交与OP的中点，根据几何关系有：tanθ=1…⑦

粒子此时在匀强磁场中做圆周运动的轨道半径为：r=…⑧

根据牛顿第二定律有：4qvB=…⑨

由③⑥⑦⑧⑨式联立解得：v₀=

答：（1）磁感应强度大小B为；

（2）粒子从O点运动到M点经历的时间为；

（3）带电粒子的初速度为．

点评：  本题是带电粒子在组合场中运动的问题，能熟练运用动能定理或运动的分解法求出粒子离开电场时的速度或偏转角度是解题的关键．带电粒子在磁场中做匀速圆周运动时，通常要结合几何关系求解．