Question

4．如图甲所示，水平直线MN下方有竖直向上的匀强电场，场强E=$\frac{π}{10}$×10⁴N/C．现将一重力不计、比荷$\frac{q}{m}$=10⁶kg的正电荷从电场中的O点由静止释放，经过t₀=1×10^-5s后，通过MN上的P点进入其上方的匀强磁场．磁场方向垂直于纸面向外，以电荷第一次通过MN时开始计时，磁感应强度按图乙所示规律周期性变化．

（1）求电荷进入磁场时的速度v₀
（2）求图乙中t=2×10^-5s时刻电荷与P点的距离；
（3）如果在P点右方d=10⁵cm处有一垂直于MN的足够大的挡板，求电荷从O点出发运动到挡板所需的时间．

Answer 1

分析 （1）电荷在电场中做匀加速直线运动，根据运动学公式和牛顿第二定律结合可求出电荷进入磁场时的速度v₀．
（2）电荷进入磁场后做匀速圆周运动，分别求出电荷在磁场中运动的半径和周期，画出轨迹，由几何关系求出t=2×10^-5s时刻电荷与P点的水平距离．
（3）电荷在周期性变化的磁场中运动，根据周期性分析电荷到达档板前运动的完整周期数，即可求出荷沿MN运动的距离．根据电荷挡板前的运动轨迹，求出其运动时间，即得总时间．

解答 解：（1）电荷在电场中做匀加速直线运动，设其在电场中运动的时间为t₁，
有：v₀=at₀  Eq=ma  
代入数据解得：v₀=π×10⁴m/s；          
（2）当磁场垂直纸面向外：B₁=$\frac{π}{20}$T时，电荷运动的半径：r₁=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{1}}$，
代入数据得：r₁=0.2m，周期：T₁=$\frac{2πm}{q{B}_{1}}$，
代入数据得：T₁=4×10^-5s，
当磁场B₂=$\frac{π}{10}$T时，电荷运动的半径：r₂=$\frac{m{v}_{0}}{q{B}_{2}}$，
代入数据得：r₂=0.1m
周期：T₂=$\frac{2πm}{q{B}_{2}}$，
代入数据得：T₂=2×10^-5s，
故电荷从t=0时刻开始做周期性运动，其运动轨迹如图1所示．

t=2×10^-5s时刻电荷先沿大圆轨迹运动四分之一周期，然后再沿小圆弧运动半个周期，与P点的水平距离：△d=r₁=0.2m；  
（3）电荷从第一次通过MN开始，其运动的周期为：T=6×10^-5 s，每一个周期内沿PN的方向运动的距离为0.4=40cm，
故电荷到达挡板前运动的完整的周期数为2个，沿PN方向运动的距离为80cm，最后25cm的距离如图2所示，设正电荷以α角撞击到挡板上，
有：r₁+r₂cosα=0.25m，代入数据解得：cosα=0.5，即α=60°，
 故电荷运动的总时间：t_总=t₀+2T+$\frac{1}{4}$T₁+$\frac{30°}{360°}$T₂，
代入数据解得：t_总=1.42×10^-4 s
答：（1）电荷进入磁场时的速度为π×10⁴m/s．
（2）t=2×10^-5s时刻电荷与P点的水平距离为20cm．
（3）电荷从O点出发运动到挡板所需的时间为1.42×10^-4s．

点评 本题是带电粒子在电场和磁场中运动的问题，电荷在电场中运动时，由牛顿第二定律和运动学公式结合研究是最常用的方法，也可以由动量定理处理．电荷在周期性磁场中运动时，要抓住周期性即重复性进行分析，根据轨迹求解时间．