Question

15．如图所示，在倾角θ=30°的足够长的固定的斜面底端有一质量m=1.0kg的物体，物体与斜面间动摩擦因数μ=$\frac{\sqrt{3}}{5}$，现用轻细绳将物体由静止沿斜面向上拉动．拉力F=13N，方向平行斜面向上．经时间t=2.0s绳子突然断了，求：（g=10m/s²）
（1）绳断时物体的速度大小．
（2）物体沿斜面向上运动的最大距离．
（3）绳子断后物体在斜面上运动的时间．

Answer 1

分析 （1）分析绳断前物体的受力情况，根据牛顿第二定律求出加速度，由速度公式求解绳断时物体的速度大小．
（2）、（3）绳断后，物体先沿斜面向上做匀减速运动，后沿斜面向下做匀加速运动，由牛顿第二定律求出向上减速过程的加速度，由运动学公式求出时间和位移．下滑过程的位移大小等于上滑过程总位移大小，由牛顿第二定律和位移公式结合求解下滑的时间，从而求得总时间．

解答 解：（1）绳断前，由牛顿第二定律可得：
    F-mgsinθ-μmgcosθ=ma₁
解得：a₁=5m/s²
可得：绳断时物体的速度大小  v=a₁t₁=5×2=10m/s．
（2）物体匀加速直线运动的位移是：
  x₁=$\frac{v}{2}$t₁=$\frac{10}{2}$×2m=10m
撤去F以后向上做匀减速直线运动的加速度大小是：
  a₂=$\frac{mgsinθ+μmgcosθ}{m}$=gsinθ+μgcosθ）=10×（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=8m/s²，
匀减速直线运动的位移是：
   x₂=$\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$=$\frac{1{0}^{2}}{2×8}$=6.25m．
上升的总位移是：x=x₁+x₂=16.25m．
（3）因为μ＜tan30°，故物体上滑的速度减至零后将沿斜面匀加速下滑，加速度为
  a₃=$\frac{mgsinθ-μmgcosθ}{m}$=g（sin30°-μcos30°）=10×（$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{5}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$）=2m/s²，
绳断后物体匀减速上升时间为：
  t₂=$\frac{v}{{a}_{2}}$=$\frac{10}{8}$=1.25s，
匀加速下降时间设为 t₃，则有
   x=$\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{3}^{2}$
解得   t₃=$\sqrt{16.25}$≈4.03s
故绳子断后物体在斜面上运动的总时间为：
   t=t₂+t₃≈5.28s．
答：
（1）绳断时物体的速度大小是10m/s．
（2）物体沿斜面向上运动的最大距离为16.25m；
（3）绳子断后物体在斜面上运动的总时间为5.28s．

点评 本题是有往复的动力学问题，运用牛顿第二定律与运动学公式结合是解题的基本方法，加速度是关键量．