Question

19．电磁炉起加热作用的底盘可以简化等效为如图所示的31个同心导电圆环，各圆环之间彼此绝缘，导电圆环所用材料单位长度的电阻为R₀=0.125π（Ω/m）．从中心向外第n个同心圆环的半径r_n=$\root{3}{9n-1}$（cm），式中n=1、2…31．电磁炉工作时产生垂直于锅底方向的变化磁场，磁场的磁感应强度B的变化率为$\frac{△B}{△t}$=100π$\sqrt{2}$sinωt（T/s）．（为了方便计算取π²=10）
（1）半径为r₁（n=1）的圆环中感应电动势最大值为多少伏？
（2）半径为r₁（n=1）的圆环中感应电流的有效值为多少安？
（3）各导电圆环总的发热功率为多少瓦？

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律求出第n环（n=1）中感应电动势的最大值，
（2）根据感应电动势的最大值，结合闭合电路欧姆定律，即可求解；
（3）根据最大值与有效值的关系，并结合电功率的表达式，从而可求解．

解答 解：（1）半径为${r}_{1}^{\;}$的圆环中感应电动势
${E}_{1}^{\;}=\frac{△B}{△t}{S}_{1}^{\;}$
${S}_{1}^{\;}=π{r}_{1}^{2}$
代入数据得最大值${E}_{1m}^{\;}=0.40\sqrt{2}V$
（2）半径为${r}_{1}^{\;}$的圆环中感应电动势的有效值${E}_{1有}^{\;}=0.40V$
圆环中电流的有效值${I}_{1有}^{\;}=\frac{{E}_{1有}^{\;}}{{R}_{1}^{\;}}$
${R}_{1}^{\;}=2π{r}_{1}^{\;}{R}_{0}^{\;}$
代入数据得${I}_{1有}^{\;}=8.0A$
（3）第n个圆环的电动势${E}_{n}^{\;}=\frac{△B}{△t}{S}_{n}^{\;}=100π{S}_{n}^{\;}\sqrt{2}sinωt$
有效值${E}_{n有}^{\;}=100π{S}_{n}^{\;}$
${S}_{n}^{\;}=π{r}_{n}^{2}$
第n个圆环的热功率${P}_{n}^{\;}=\frac{{E}_{n有}^{2}}{{R}_{n}^{\;}}$
代入已知条件得${P}_{n}^{\;}=0.40×（9n-1）$
（9n-1）是${a}_{1}^{\;}=8$，公差d=9的等差数列，求和公式$\frac{{a}_{1}^{\;}+{a}_{n}^{\;}}{2}$或$n{a}_{1}^{\;}+\frac{n（n-1）}{2}d$
所以${P}_{总}^{\;}=0.40×[31×8+\frac{31×（31-1）}{2}×9]W=1773.2W$
各导电圆环总的发热功率为$1.77×1{0}_{\;}^{3}W$或$1.8×1{0}_{\;}^{3}W$
答：（1）半径为r₁（n=1）的圆环中感应电动势最大值为$\frac{2\sqrt{2}}{5}V$
（2）半径为r₁（n=1）的圆环中感应电流的有效值为8安
（3）各导电圆环总的发热功率为1773.2瓦

点评 考查法拉第电磁感应定律与闭合电路欧姆定律的应用，掌握交流电的最大值与有效值的关系，理解电功率的表达式的运用．