Question

9．据新华社2015年11月2日上海电，我国自主发射的火星探测器将在第17届中国国际工业博览会上首次公开亮相，火星是太阳系中与地球最为类似的行星，人类对火星生命的研究在2015年因“火星表面存在流动的液态水”的发现而取得了重要进展．若火星可视为均匀球体，其表面的重力加速度为g，半径为R，自转周期为T，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（　　）

• A． 火星的平均密度为$\frac{3g}{4GπR}$
• B． 火星的同步卫星距火星表面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$-R
• C． 火星的第一宇宙速度为2$\sqrt{gR}$
• D． 火星的同步卫星运行的角速度为$\frac{π}{T}$

Answer 1

分析 根据万有引力等于重力求出火星的质量，结合火星的体积求出火星的密度；根据万有引力提供向心力求出火星同步卫星的轨道半径，从而得出距离火星表面的高度；根据万有引力提供向心力求近地卫星的速度即第一宇宙速度；火星的同步卫星运行的角速度等于火星自转的角速度

解答 解：A、在火星表面，对质量为m的物体由$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$和$M=ρ•\frac{4}{3}π{R}_{\;}^{3}$，可得：$ρ=\frac{3g}{4GπR}$，选项A正确；
B、设火星的同步卫星距火星表面的高度为h，同步卫星的周期等于火星的自转周期T，则$G\frac{Mm}{（R+h）_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（R+h）_{\;}^{2}$，可得：$h=\root{3}{\frac{g{R}_{\;}^{2}{T}_{\;}^{2}}{4{π}_{\;}^{2}}}-R$，选项B正确；
C、设火星的第一宇宙速度为v，由$mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{R}$，可知：$v=\sqrt{gR}$，选项C错误；
D、火星的同步卫星运行的角速度等于火星自转的角速度，则$ω=\frac{2π}{T}$，选项D错误；
故选：AB

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．