Question

1．如图所示，两光滑直杆成直角竖直固定，OM水平，ON竖直，两个质量相同的有孔小球A、B（可视为质点）串在杆上通过长为L的非弹性轻绳相连，开始时小球A在水平向左的外力作用下处于静止状态，此时OB=$\frac{4}{5}$L，重力加速度为g，现将外力增大到原来的4倍（方向不变），则小球B运动到O点的距离$\frac{3}{5}$L时的速度大小为（　　）

• A． $\frac{1}{5}\sqrt{10gL}$
• B． $\frac{8}{25}\sqrt{5gL}$
• C． $\frac{1}{5}\sqrt{15gL}$
• D． $\frac{6}{25}\sqrt{5gL}$

Answer 1

分析 先对B和A进行受力分析，根据共点力的平衡求出开始时的拉力，然后根据两球的速度沿绳子方向的分量相等，列式求出A球向右运动时两球的速度关系，由几何关系求出此过程中B球上升的高度．再以B球为研究对象，由动能定理求绳对B球的速度．

解答 解：开始时A到O的距离：$OA=\sqrt{{L}^{2}-{（\frac{4}{5}L）}^{2}}=\frac{3}{5}L$
以B为研究对象，开始时B受到重力、杆的支持力N和绳子的拉力T，如图，则：

$tanθ=\frac{N}{mg}$
由几何关系：tanθ=$\frac{OA}{OB}=\frac{\frac{3}{5}L}{\frac{4}{5}L}=\frac{3}{4}$
联立得：N=$\frac{3}{4}mg$
以AB组成的整体为研究对象，在水平方向二者受到拉力F和杆对B的支持力N，由于水平方向受力平衡，所以F=N=$\frac{3}{4}mg$
现将外力增大到原来的4倍（方向不变），则：F′=4F=3mg
B球向上运动时，小球B运动到O点的距离$\frac{3}{5}$L时，由几何关系得，A到O点的距离：
$OA′=\sqrt{{L}^{2}-（\frac{3}{5}L）^{2}}=\frac{4}{5}L$
A向右的距离：△S=$\frac{4}{5}L-\frac{3}{5}L=\frac{1}{5}L$
B上升的距离：$△h=\frac{4}{5}L-\frac{3}{5}L=\frac{1}{5}L$
此时细绳与竖直方向之间夹角的正切值：tanθ′=$\frac{4}{3}$，则得 cosθ′=0.6，sinθ′=0.8
由运动的合成与分解知识可知：A球的受到与B球的速度之间的关系为为：v_Bcosθ′=v_Asinθ′
可得 v_B=$\frac{4}{3}{v}_{A}$
以AB球组成的整体为研究对象，拉力和重力对系统做功，由动能定理得：
  $F′•△S-mg△h=\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}+\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$
联立以上方程解得：${v}_{B}=\frac{8}{25}\sqrt{5gL}$
选项B正确．
故选：B

点评 本题考查了共点力平衡、运动合成、分解与动能定理的综合，注意A、B的速度大小不等，但是在沿绳子方向的分速度大小相等．