Question

风洞实验室可产生水平方向的、大小可调节的风力．在风洞中有一个固定的支撑架ABC，该支撑架的外表面光滑，且有一半径为R的四分之一圆柱面，支撑架固定在离地面高为2R的平台上，平台竖直侧壁光滑，如图所示，地面上的D点处有一竖直的小洞，小洞离侧壁的水平距离为R，现将质量分别为m₁和m₂的两个小球用一根不可伸长的轻绳连接按图示的方式置于圆柱面上，球m₁放在柱面底部的A点，球m₂竖直下垂．
（1）在无风情况下，将两球由静止释放（不计一切摩擦），小球m₁沿圆柱面向上滑行，到最高点C恰与圆柱面脱离，则两球的质量之比m₁：m₂是多少？（m₁到最高点时m₂尚未着地）
（2）改变两小球的质量比，并使它们由静止开始运动，同时开动风机，产生均匀、恒定、水平向左的风，当小球m₁滑至圆柱面的最高点C时绳恰好断裂，通过调节风力F的大小，使小球m₁恰能与洞壁无接触地落入小洞D的底部，求小球m₁经过C点时的速度及水平风力F的大小．

Answer 1

分析：（1）小球m₁到最高点C恰与圆柱面脱离，此时圆柱体对小球的支持力恰好为零，由重力提供向心力，根据牛顿第二定律求出小球在C点的速度．对于m₁和m₂组成的系统，在小球m₁沿圆柱面向上滑行的过程中，机械能守恒，由机械能守恒定律列式求质量之比；
（2）由于风力恒定，小球m₁滑至圆柱面的最高点C绳断裂后，小球m₁在水平方向做末速度为零的匀减速运动，在竖直方向做自由落体运动，由运动学公式求出小球m₁经过C点时的速度和水平方向的加速度，由牛顿第二定律求水平风力F．

解答：解：（1）小球m₁在C点恰好离开圆柱面，由圆周运动规律可知小球在C点时只由重力提供向心力，mg=m

v 2 c

R

，
小球在C点的速度为：vc=

gR

                 
由m₁和m₂组成的系统机械能守恒，则将两球由静止释放到小球m₁离开C点时有：
   m2g?(

2πR

4

)-m1gR=

1

2

(m1+m2)

v

2 c

                    
由以上两式解得：m₁：m₂=（π-1）：3
（2）绳子断裂后小球m₁在水平方向的平均速度为：

.

v

=

R

t

小球m₁在下落过程中在竖直方向做自由落体运动，运动时间为：t=

6R g

小球m₁在水平方向做末速度为零的匀减速运动，小球m₁在离开C点时的速度为：v′c=2

.

v

由解得：v′c=

2gR 3

由匀变速运动规律可知，小球在水平方向的加速度大小为：a=

v 2 c

2R

=

g

3

由牛顿第二定律可求得小球所受风力为：F=ma=

mg

3

答：
（1）两球的质量之比m₁：m₂是（π-1）：3．
（2）小球m₁经过C点时的速度为

2gR 3

，水平风力F的大小是

mg

3

．

点评：本题第1题是系统的机械能守恒与向心力结合，把握住最高点的临界条件：圆柱体的支持力为零，由重力提供小球的向心力是关键．第2题关键是对小球进行受力分析，结合正交分解法，根据牛顿第二定律列式求解．