Question

4．某种光学元件有两种不同的透明物质Ⅰ和Ⅱ制成，其横截面如图所示，O为AB中点，∠BAC=30°，半圆形透明物质Ⅰ的折射率n₁=$\sqrt{3}$，一束光线在纸面内沿DO方向射入该元件，通过观察发现此时在AC面恰好无光线射出，在BC面有光线垂直射出，求：
（1）该透明物质Ⅱ的折射率n₂．
（2）光线在透明物质Ⅰ和透明物质Ⅱ中的传播速度的比值．

Answer 1

分析 （1）据题知，光线射向AC面恰好发生全反射，反射光线垂直于BC面从棱镜射出，作出光路图．根据几何知识得出光线在AC面上入射角，即为临界角C，根据临界角公式sinC=$\frac{1}{n}$求解透明物质Ⅱ的折射率n₂；
（2）根据公式n=$\frac{c}{v}$求解光线在透明物质Ⅰ和透明物质Ⅱ中的传播速度的比值．

解答 解：（1）由题意可知，光线射向AC面恰好发生全反射，反射光线垂直于BC面从棱镜射出，光路图如图．
设透明物质Ⅱ的临界角为C，由几何关系可知：C=θ₂=θ₁=60°
由sinC=$\frac{1}{n}$得：n₂=$\frac{1}{sinC}$=$\frac{1}{sin60°}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$     
（2）根据公式n=$\frac{c}{v}$得光线在透明物质Ⅰ和透明物质Ⅱ中的传播速度的比值为：
$\frac{{v}_{1}}{{v}_{2}}$=$\frac{{n}_{2}}{{n}_{1}}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{3}}{\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$
答：（1）该透明物质Ⅱ的折射率n₂是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
（2）光线在透明物质Ⅰ和透明物质Ⅱ中的传播速度的比值为$\frac{2}{3}$．

点评 本题是几何光学问题，关键掌握光的折射定律以及临界角与折射率的大小sinC=$\frac{1}{n}$关系，解答时，要充分利用几何知识求临界角．