Question

14．如图所示，在足够长的光滑水平地面上有一滑板，滑板AB部分为半径R=0.15m的$\frac{1}{4}$圆弧，BC段水平，长度L=0.8m，滑板质量M=2.7kg，滑板左侧靠墙．滑块P₁和P₂ （可视为质点）的质量都为m=0.9kg，滑块P1P2与BC面的动摩擦因数相同，开始时P₁以V₀=1m/s的初速度从A点沿弧面切线滑下，P₂静止在滑板BC的中点．若P₁与P₂的碰撞为完全非弹性碰撞．g取10m/s²．求：
（1）P₁滑到$\frac{1}{4}$圆弧最低点时，对凹形滑板的压力？
（2）要使P₁与P₂不发生碰撞，滑块与BC面的动摩擦因数μ应满足什么条件？
（3）若滑块与BC面的动摩擦因数μ=0.3，试通过计算判断P₁与P₂是否会从滑板上掉下？

Answer 1

分析 （1）由机械能守恒可求得物体到达B点的速度，由牛顿第二定律可求得B点处物体对轨道的压力；
（2）由动量守恒可求得小车与物体的共同速度，再由功能关系可得出物块与水平轨道BC间的动摩擦因数．
（3）对各过程由动量守恒及功能关系分析碰后两物体滑行的距离，从而判断是否能滑下．

解答 解：（1）设圆弧轨道半径为R，取B点所在平面为重力势能零点，由机械能守恒定律有：
mgR=$\frac{1}{2}m{v^2}$-$\frac{1}{2}$mv₀²
设在B点轨道对物块的支持力为F_N，根据牛顿第二定律有：
F_N-mg=$\frac{{m{v^2}}}{R}$
得：F_N=33N；
设在B点物块对轨道的压力为F_N′，根据牛顿第三定律得：
F_N′=F_N=33N；
压力竖直向下；
（2）设物块滑行至轨道末端C处时与小车的共同速度为v₂，由动量守恒定律得：
mv₁=（M+2m）•v₂
代入数据解得：v₂=0.4m/s；
对物块和小车应用功能关系得：
$\frac{1}{2}$mv₁2=$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²+μmg$\frac{L}{2}$
代入数据解得：μ=0.4；
要使P₁与P₂不发生碰撞μ＞0.4；
（3）P₁与P₂必发生碰撞，碰前P₁的速度为v₃，P₂和滑板的速度为v₄；
由动量守恒定律可知：
mv₁=mv₃+（M+m）v₄
由功能关系可知：
$\frac{1}{2}$mv₁²=$\frac{1}{2}$mv₃²+$\frac{1}{2}$（M+m）v₄²+μmg$\frac{L}{2}$
联立解得：v₃=1.2m/s；
v₄=0.2m/s；
P₁与P₂碰撞后共同速度为v₅；
则有：mv₃+mv₄=（m+m）v₅
解得：v₅=0.7m/s；
P₁和P₂碰撞后相对滑板的距离为S
由能量关系可知：
$\frac{1}{2}$Mv₄²+$\frac{1}{2}$2mv₅²=$\frac{1}{2}$（M+2m）v₂²+2μmgS
解得：S=0.025m＜$\frac{L}{2}$；
故P₁和P₂碰撞后不会从滑板上掉下；
答：（1）物块到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力为33N；
（2）动摩擦因数为0.4．
（3）P₁和P₂碰撞后不会从滑板上掉下；

点评 本题考查动量守恒及功能关系的综合应用，要注意正确分析受力及运动过程，从而分别对每一过程选择正确的物理规律进行求解．