Question

如图所示，轨道ABCD的AB段为一半径R=0.2m的光滑1/4圆形轨道，BC段为高为h=5m的竖直轨道，CD段为水平轨道．一小球由A点从静止开始下滑，离开B点做平抛运动（g取10m/s²），求：
（1）小球到达B点时速度的大小；
（2）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离；
（3）如果在BCD轨道上放置一个倾角θ=45°的斜面（如图中虚线所示），那么小球离开B点后能否落到斜面上？如果能，求它第一次落在斜面上的位置．

Answer 1

分析：（1）A到B的过程中，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒求出小球到达B点的速度大小．
（2）根据高度求出平抛运动的时间，结合速度和时间求出水平距离．
（3）结合斜面底边的长度与水平距离比较确定小球能否落在斜面上，若能落在斜面上，结合竖直位移和水平位移的关系求出运动的时间，从而得出水平位移，根据几何关系确定小球落点的位置．

解答：解：（1）小球从A点运动到B点的过程机械能守恒，即

1

2

mv_B²=mgR
v_B=

2gR

=

2×10×0.2

m/s=2m/s．
（2）设小球离开B点做平抛运动的时间为t₁，落地点到C点距离为s
由h=

1

2

gt₁² 得：
t₁=

2h g

=

2×5 10

s=1s．
s=v_Bt₁=2×1 m=2 m
（3）如图，斜面BEC的倾角θ=45°，CE长d=h=5m
因为d＞s，所以小球离开B点后能落在斜面上
假设小球第一次落在斜面上F点，BF长为L，小球从B点到F点的时间为t₂
Lcosθ=v_Bt₂ ①
Lsinθ=

1

2

gt₂² ②
联立①、②两式得
t₂=0.4s
L=

vBt

cosθ

=

2×0.4

2 2

m=0.8

2

=1.13m．
答：（1）小球到达B点时速度的大小为2m/s．
（2）小球离开B点后，在CD轨道上的落地点到C的水平距离为2m．
（3）能，它第一次落在斜面上的位置距离B点1.13m．

点评：本题考查了机械能守恒定律和平抛运动规律的综合，关于小球落在斜面上，平抛运动的竖直位移和水平位移的比值是一定值．