Question

15．如图所示，xOy为空间直角坐标系，真空中有一以原点为圆心的圆形磁场区域，半径为x₀，磁场垂直纸面向里．在x＞x₀的区域存在平行x轴，沿-x方向的匀强电场，电场强度为E，M点为磁场边界与+y轴的交点，该点有一α粒子源不断辐射出α粒子，在纸面内从M点以相同的速率v，沿不同方向射入磁场，发现沿-y方向射入磁场的α粒子穿出磁场进入电场后，速度减小到0．已知α粒子的质量为m，电荷量为+q．（α粒子重力不计） 
（1）求圆形磁场区域中磁感应强度的大小；
（2）由M点沿-y方向射入磁场的α粒子，穿出磁场进入电场后，返回再次穿出磁场，求该粒子从M点开始到再次出磁场时所运动的路程；
（3）沿与-y方向成60°角射入的α粒子，最终将从磁场边缘的N点（图中未画出）穿出，求N点的坐标和粒子从M点运动到N点的总时间．

Answer 1

分析 （1）首先要根据题目的要求，画出粒子运动的轨迹，根据洛伦兹力提供向心力和图象中的几何关系，求得磁感应强度；
（2）使用运动学的公式计算出粒子在电场中的最大位移，然后结合图象中的几何关系，求出粒子的路程；
（3）先根据题目提供的条件，画出粒子运动的轨迹，然后根据粒子运动的轨迹和运动学的公式，求出粒子在各段不同的轨迹上所用的时间，总时间为各段时间的和．

解答 解：（1）粒子穿出磁场进入电场后，速度减小到0，说明粒子平行x轴进入电场，由粒子的路径图①可知，在磁场中作圆周运动的轨道半径为 R=x₀      
由qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$得
 B=$\frac{mv}{q{x}_{0}}$       
（2）如图①，粒子在磁场中经$\frac{1}{4}$圆弧后，进入电场减速到0，在电场中减速的位移为
△x=$\frac{{v}^{2}}{2•\frac{qE}{m}}$=$\frac{m{v}^{2}}{2qE}$
则粒子从M点开始到再次出磁场时所运动的路程为
  s=$\frac{1}{4}×2πR×2$+2△x=πx₀+$\frac{m{v}^{2}}{qE}$
（3）沿与-y方向成60°角射入的粒子运动轨迹如图②所示，由P点水平出磁场，匀速运动至Q点进入电场，速度会减小到0后返回，经Q、P点再次进入磁场，由几何关系可知，四边形OPO₁M和OPO₂N都是菱形，故N点的坐标为：（0，-x₀）       
在磁场中运动的两段圆弧所对应圆心角之和为180°，则在磁场中运动的时间为
  t₁=$\frac{T}{2}$=$\frac{2πR}{v}×\frac{1}{2}$=$\frac{π{x}_{0}}{v}$
由P到Q的时间 t₂=$\frac{{x}_{0}}{2v}$
在电场中减速的时间 ${t}_{3}=\frac{v}{a}$=$\frac{mv}{qE}$
则由M到N的总时间为 t=t₁+t₂+t₃=$\frac{（π+1）{x}_{0}}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$
答：
（1）圆形磁场区域中磁感应强度的大小为 $\frac{mv}{q{x}_{0}}$；
（2）该粒子从M点开始到再次出磁场时所运动的路程为πx₀+$\frac{m{v}^{2}}{qE}$；
（3）N点的坐标为（0，-x₀），粒子从M点运动到N点的总时间为$\frac{（π+1）{x}_{0}}{v}$+$\frac{2mv}{qE}$．

点评 本题能够根据题目提供到达条件画出粒子运动的轨迹是解题的关键．这也是解决粒子在磁场中运动的常规的要求．该题的难度比较大．