Question

2．如图1所示，光滑曲面轨道置于离地面高度H=1.8m的平台上，其末端切线水平．另有一长木板两端分别搁在轨道末端点和水平地面间，构成倾角θ=37°的斜面，整个装置固定在竖直平面内．一个可视为质点的质量m=0.1kg的小球，从光滑曲面上由静止开始下滑．（不计空气阻力，g取10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）若小球在曲面上离平台高度h₁=0.45m处静止下滑，求小球离开平台时的速度大小；
（2）若小球下滑后正好落在木板的末端，求小球在曲面上的释放点离平台的高度h₀；
（3）试推导小球下滑后第一次撞击木板时的动能E_k与它在曲面上的释放点离平台的高度h的关系表达式，在如图2中并作出E_k-h图象．

Answer 1

分析 （1）小球下滑过程中受重力和支持力，其中支持力不做功，只有重力做功，机械能守恒，根据机械能守恒定律列式求解小球离开平台时的速度大小；
（2）先根据平抛运动的分位移公式求解出平抛的初速度，然后对沿斜面下滑过程运用机械能守恒定律列式求解释放点离平台的高度h₀；
（3）小球落到斜面上，位移方向一定，先根据位移时间关系公式得到运动时间，再求出水平和竖直分速度后合成合速度，得到动能的一般表达式，再作图．

解答 解：（1）小球从曲面上滑下，只有重力做功，由机械能守恒定律：
  mgh₁=$\frac{1}{2}$m${v}_{0}^{2}$
解得 v₀=$\sqrt{2g{h}_{1}}$=$\sqrt{2×10×0.45}$=3m/s
即小球离开平台时速度的大小是3m/s．
（2）小球离开平台后做平抛运动，小球正好落到水平地面木板的末端，则
 H=$\frac{1}{2}$gt²      
 $\frac{H}{tanθ}$=v₁t    
联立上两式得：v₁=4m/s
小球在曲面下滑的过程，由机械能守恒定律：
  mgh₀=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得 h₀=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$=$\frac{16}{20}$m=0.8m
即释放小球的高度h₀为0.8m．
（3）由机械能守恒定律可得：mgh=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
小球由离开平台后做平抛运动，可看做水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，则：
 y=$\frac{1}{2}$gt²   
 x=v₀t      
又 tan37°=$\frac{y}{x}$
 小球撞击木板时竖直分速度  v_y=gt   
此时的速度  v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}+{v}_{y}^{2}}$
动能 E_K=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
由以上解得：E_k=3.25h  
考虑到当h＞0.8m时小球不会落到斜面上，其图象如图所示

答：
（1）小球离开平台时的速度大小为3m/s．    
（2）小球在曲面上的释放点离平台的高度h₀为0.8m．   
（3）小球下滑后第一次撞击木板时的动能E_k与它在曲面上的释放点离平台的高度h的关系表达式为 E_k=3.25h，图象如图．

点评 本题关键是将平抛运动沿着水平和竖直方向正交分解，根据位移时间关系公式和速度时间关系列式，同时对沿斜面加速过程运用机械能守恒定律列式后联立求解．