Question

7．小汽车正前方s处有一辆正在以速度v₀行驶的载重卡车，此时小汽车因有急事需追赶载重卡车，于是通知载重卡车司机，卡车司机立即以加速度大小为a₁做匀减速运动，同时小汽车从静止开始以加速度大小为a₂做匀加速运动，试求汽车需多长时间可追上载重卡车．

Answer 1

分析 在汽车的追击和相遇的问题中，当有汽车在做减速运动时，一定要注意汽车的运动时间的判断，货车的运动的时间和小汽车的运动的时间很可能是不一致的，所以要分情况来讨论．

解答 解：分两种情况讨论：
由于载重卡车经$\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}$时间停下，在这段时间内小汽车的位移为$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}$
（1）若$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}＞s+\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$，则小汽车在载重卡车停下前追上，有
$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=s+{v}_{0}^{\;}t-\frac{1}{2}{a}_{1}^{\;}{t}_{\;}^{2}$
解得：$t=\frac{{v}_{0}^{\;}+\sqrt{{v}_{0}^{2}+2（{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}）s}}{{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}}$
（2）若$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}（\frac{{v}_{0}^{\;}}{{a}_{1}^{\;}}）_{\;}^{2}＜s+\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$，则小汽车在载重卡车停下后追上，有
$\frac{1}{2}{a}_{2}^{\;}{t}_{\;}^{2}=s+\frac{{v}_{0}^{2}}{2{a}_{1}^{\;}}$
解得：$t=\sqrt{\frac{2s}{{a}_{2}^{\;}}+\frac{{v}_{0}^{2}}{{a}_{1}^{\;}{a}_{2}^{\;}}}=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}+2{a}_{1}^{\;}s}{{a}_{1}^{\;}{a}_{2}^{\;}}}$
答：Ⅰ、小汽车在载重卡车停下前追上，则$t=\frac{{v}_{0}^{\;}+\sqrt{{v}_{0}^{2}+2（{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}）s}}{{a}_{1}^{\;}+{a}_{2}^{\;}}$
Ⅱ、小汽车在载重卡车停下后追上，则$t=\sqrt{\frac{{v}_{0}^{2}+2{a}_{1}^{\;}s}{{a}_{1}^{\;}{a}_{2}^{\;}}}$

点评 对汽车的这种追击问题，在分析问题的时候一定要注意汽车的刹车的时间，从而先判断出车的运动的情况．