Question

19．我国某载人飞船在酒泉航天发射场发射升空．由长征运载火箭将飞船送入近地点为A、远地点为B的椭圆轨道上，A点距地面的高度为h₁，飞船飞行五周后进行变轨，进入预定圆轨道，在预定圆轨道上飞行n圈所用时间为t．已知地球表面重力加速度为g，地球半径为R．求：
（1）飞船在A点的加速度大小
（2）远地点B距地面的高度
（3）飞船沿着椭圆轨道到达B后应加速还是减速才能进入预定圆轨道？

Answer 1

分析 （1）根据万有引力公式以及黄金代换式GM=gR²，求出飞船在A点所受的合力，从而求出加速度．
（2）根据万有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$，已知周期，求出轨道半径，从而求出高度．
（3）根据万有引力与向心力之间的关系分析．

解答 解：（1）飞船在A点所受的万有引力F=$G\frac{Mm}{（R+{h}_{1}）^{2}}$．
        由黄金代换式GM=gR²，得F=$\frac{g{R}^{2}m}{（R+{h}_{1}）^{2}}$，
根据牛顿第二定律a=$\frac{F}{m}=\frac{g{R}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$．
故飞船在A点的加速度为$\frac{g{R}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$．
（2）$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$，T=$\frac{t}{N}$
所以r=$\root{3}{\frac{GM{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}$
由黄金代换式GM=gR²，r=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}$，所以h=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$
故远地点B距地面的高度为$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$．
（3）飞船沿着椭圆轨道到达B后，由于原来的速度比较小，需要的向心力小于万有引力，所以做向心运动，若在B点开始做匀速圆周运动，则需要加速才能使需要的向心力增大．石头应加速才能进入预定圆轨道．
答：（1）飞船在A点的加速度大小是$\frac{g{R}^{2}}{{（R+{h}_{1}）}^{2}}$；
（2）远地点B距地面的高度是$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{t}^{2}}{4{π}^{2}{N}^{2}}}-R$；
（3）飞船沿着椭圆轨道到达B后应加速才能进入预定圆轨道．

点评 解决本题的关键掌握黄金代换式GM=gR²，万有引力提供向心力，$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=mr（\frac{2π}{T}）^{2}$，以及开普勒第三定律$\frac{{R}^{3}}{{T}^{2}}=C$．