Question

17．如图所示，质量m=1kg的长木板A放在水平地面上，在木板的最右端放一质量也为m=l kg的物块B．木板与地面间的动摩擦因数μ₁=0.2，物块与木板间的动摩擦因数μ₂=0.1．现用一水平力F=9N作用在木板上，使木板由静止开始匀加速运动，经过t₁=1s，撤去拉力．最终物块没有滑离木板．设物块与木板间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．（g取10m/s²）求：
（1）撤去拉力时，木板的速度大小v₁．
（2）木板的最小长度L．
（3）物块最终与木板右端的距离s．

Answer 1

分析 （1）对木板进行受力分析，由牛顿第二定律求出加速度，然后由速度公式即可求出速度；
（2）求出物块的加速度与位移，然后求出木板减速的加速度，在求出二者速度相等时的速度，最后求出木板的长度；
（3）分别求出它们的位移即可求出物块最终与木板右端的距离s．

解答 解：（1）以木板为研究对象，竖直方向：mg+mg=F_N
水平方向：F-μ₁F_N-μ₂mg=ma₁
代入数据得：${a}_{1}=4m/{s}^{2}$
所以，撤去拉力时，木板的速度大小：v₁=a₁t₁=4×1=4m/s
（2）1s内木板的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×4×{1}^{2}=2$m
以物块为研究对象，水平方向：ma₂=μ₂g
所以：${a}_{2}={μ}_{2}g=0.1×10=1m/{s}^{2}$
1s内物块的位移：${x}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}=\frac{1}{2}×1×{1}^{2}=0.5$m
撤去拉力后物块将继续加速一段时间，而木板做减速运动，设加速度为a₃，则：
-μ₂mg-μ₁•2mg=ma₃
代入数据得：${a}_{3}=-5m/{s}^{2}$
设再经过t₂时间二者的速度相等，则：
v₁+a₃t₂=a₂（t₁+t₂）
代入数据得：t₂=0.5s
t₂时间内二者的位移：${x}_{1}′={v}_{1}{t}_{2}+\frac{1}{2}{a}_{3}{t}_{2}^{2}$
${x}_{2}′=\frac{1}{2}{a}_{2}（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{1}^{2}$
木板的长度至少为：L=x₁+x₁′-x₂-x₂′
代入数据得：L=2.25m
（3）达到相等的速度为：v′=a₂（t₁+t₂）=1×（1+0.5）=1.5m/s
达到相等的速度后，物块和木板都做减速运动，直到停止，物块的加速度小，相对于木板向右运动，则：
木板的加速度：-μ₁•2mg+μ₂mg=ma₄
物块的加速度保持不变，则：${x}_{1}″=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{4}}$，${x}_{2}″=\frac{{v}^{2}}{2{a}_{2}}$
由几何关系：L+x₁″=x₂″+s
联立得：s=1.5m
答：（1）撤去拉力时，木板的速度大小是4m/s．
（2）木板的最小长度L是2.25m．
（3）物块最终与木板右端的距离是1.5m．

点评 本题关键明确木块和木板的运动规律和受力特点，根据牛顿第二定律求解出加速度后根据运动学公式规律联立求解．