Question

如图所示，在水平地面上放置一块质量为M的长平板B，在平板的上方某一高度处有一质量为m的物块P由静止开始落下．在平板上方附近存在“相互作用”的区域（如图中虚线所示区域），当物块P进入该区域内，B便会对P产生一个竖直向上的恒力F作用，使得P恰好不与B的上表面接触，且F=kmg，其中k=11．在水平方向上P、B之间没有相互作用力．已知平板与地面间的动摩擦因数μ=2.0×10^-3，平板和物块的质量之比M/m=10．在P从静止开始下落时，平板B有向左运动的速度v₀=0.20m/s，P从静止开始下落到进入相互作用区域经历的时间t₀=0.50s．设平板B足够长，保证物块P总能落到B板上方的相互作用区域内，忽略物块P受到的空气阻力，取重力加速度g=10m/s²．求：
（1）物块P从静止开始下落到第一次回到初始位置所经历的时间；
（2）从物块P由静止开始下落到平板B的运动速度减小为零的这段时间内，P能回到初始位置的次数．

Answer 1

分析：（1）根据自由落体运动的公式求出物体P进入相互作用区域时的速度大小，结合牛顿第二定律求出进入相互作用区域的加速度，通过运动学公式，抓住运动的对称性求出物块P从静止开始下落到第一次回到初始位置所经历的时间．
（2）根据牛顿第二定律求出物体的加速度，从而得出速度的变化量，通过整个过程中速度的变化量求出物块P开始下落到平板B的运动速度减小为零的这段时间内，P能回到初始位置的次数．

解答：解析：（1）设物块P进入相互作用区域时的速度为：
V₁，V₁=gt₀…①
物块P从进入相互作用区域到速度减小为零的过程中，受到重力和平板的相互作用，设物块在相互作用区域内下落的加速度为a，根据牛顿第二定律有：
mg-kmg=ma…②
设在相互作用区域内的下落时间为t，根据运动学公式有：
a=

0-V1

t

…③
而物块从开始下落到第一次回到初始位置的时间为：
T=2（t+t₀）…④
由上各式解得：
T=

2k

k-1

t₀=1.1 s…⑤
（2）设在一个运动的周期内，平板B的速度减小量为△v，
设B板在2t．内的加速度a₁，则有：
μMg=Ma₁…⑥
设B板在2t内的加速度a₂，则有：
μ（Mg+F）=Ma₂…⑦
则得：△v=a₁?2t．+a₂?2t…⑧
解得：△v=2.4×10^-2 m/s…⑨
P回到初始位置的次数为：n=

v0

△v

=8.3  
n应取整数，即n=8…⑩
答：（1）物块P从静止开始下落到第一次回到初始位置所经历的时间为1.1s．
（2）从物块P由静止开始下落到平板B的运动速度减小为零的这段时间内，P能回到初始位置的次数为8次．

点评：本题综合考查了牛顿第二定律、运动学公式等，综合性较强，难度中等，需加强这类题型的训练．