Question

19．如图所示，半径R=0.8m的$\frac{1}{4}$光滑圆弧轨道固定在竖直平面内，过最低点的半径OC处于竖直位置，在其右方有一可绕竖直轴MN（与圆弧轨道共面）转动的，内部空心的圆筒，圆筒半径r=$\frac{\sqrt{5}}{10}$m，筒的顶端与圆弧轨道最低点C点等高，在筒的下部有一小孔，距筒顶h=0.8m，开始时小孔在图示位置（与圆弧轨道共面）．现让一质量m=0.1kg的小物块自A点由静止开始下落，打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬间的碰撞过程中小物块沿半径方向的分速度立刻减为零，而沿圆弧切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使圆筒立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A点、B点到圆心O的距离均为R，与水平方向的夹角θ均为30°，不计空气阻力，g取10m/s²．试问：
（1）小物块到达C点时的对轨道的压力大小是多少？
（2）圆筒匀速转动时的角速度是多少？
（3）假使小物块进入小孔后，圆筒立即停止转动且恰好沿切线方向进入圆筒内部的光滑半圆轨道，且半圆轨道与圆筒在D点相切．求：圆轨道的半径，并判断小物块能否到达半圆轨道的最高点E点，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先根据几何关系求得碰后小球速度，从B到C得运动过程中运用动能定理求得到达C的速度，根据向心力公式及牛顿第三定律即可求解；
（2）小物块最终正好进入小孔，所以在小球做平抛运动的时间里，转筒正好转了n圈，即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$（n=1，2，3…）；
（3）恰好沿圆弧切线方向飞入，根据几何关系求出飞入时的速度以及速度与水平方向的夹角，再根据几何关系求出半径，根据向心力公式求出恰好到达E点时的临界速度，假定能够到达，则从飞入到E点，根据动能定理列示，求出速度，与临界速度比较即可求解．

解答 解：（1）小物块由A→B的过程中，
2mgRsin30°=$\frac{1}{2}$mv_B²
v_B=4m/s                                               
在瞬间碰撞过程中，小物块沿半径方向的分速度立刻减为0，沿切线方向的分速度不变．
则碰撞后瞬间小物块速度
v_B'=v_Bcos30°=2$\sqrt{3}$m/s                                
小物块由B→C的过程中根据动能定理得：
mgR（1-sin30°）=$\frac{1}{2}$mv_C²-$\frac{1}{2}$mv_B'²
v_C=$\sqrt{20}$m/s                                            
小物块在C点，根据向心力公式得：
F-mg=m$\frac{{{v}_{C}}^{2}}{R}$
解得：F=3.5N                                                 
所以由牛顿第三定律知，小物块对轨道压力的大小F_C=3.5N    
（2）小球由C到小孔做平抛运动
h=$\frac{1}{2}$gt²   
解得：t=0.4s                                                                             
小物块最终正好进入小孔，所以在小球做平抛运动的时间里，转筒正好转了n圈，
即t=nT=n$\frac{2π}{ω}$（n=1，2，3…）．
解得：$ω=\frac{2nπ}{t}$=5nπrad/s  （n=1，2，3…）．
（3）恰好沿圆弧切线方向飞入，则tan$α=\frac{{v}_{y}}{{v}_{C}}=\frac{g{t}_{1}}{{v}_{C}}=\frac{4}{2\sqrt{5}}$
飞入速度v=$\sqrt{{v}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=6m/s$
若圆周半径为R′，则R′（1+sinα）=2r得：$R′=\frac{3\sqrt{5}}{25}m$
若能到达E点，则临界要求$mgcosα=\frac{m{{v}_{E}}^{2}}{R′}$
解得：${v}_{E}=\sqrt{2}m/s$
假定能够到达，则从飞入到E点，根据动能定理得：
-mg2R′cosα=$\frac{1}{2}m{v}_{E}{′}^{2}-\frac{1}{2}m{{v}_{E}}^{2}$
解得：${v}_{E}′=\sqrt{28}m/s＞\sqrt{2}m/s$
所以能到达E点．
答：（1）小物块到达C点时的对轨道的压力大小是3.5N；
（2）圆筒匀速转动时的角速度是5nπrad/s  （n=1，2，3…）；
（3）圆轨道的半径为$\frac{3\sqrt{5}}{25}m$，小物块能到达半圆轨道的最高点E点．

点评 本题是圆周运动与平抛运动相结合的题目，考查了圆周运动及平抛运动的基本规律，运动过程较为复杂，难度较大．