Question

15．如图甲所示，一圆形金属线圈放置于匀强磁场中，磁场方向与线圈平面垂直，磁感应强度为B₀．现让线圈绕其一条直径以50Hz的频率匀速转动，较长时间t内产生的热量为Q；若线圈不动，让磁场以图乙所示规律周期性交化，要在t时间内产生的热量也为Q．乙图中磁场变化的周期T以s为单位，数值应为（　　）

• A． $\frac{1}{50π}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{50π}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{25π}$
• D． $\frac{1}{25π}$

Answer 1

分析 线圈匀速转动产生的是正弦交变电流，求出感应电动势的有效值；当线圈不动，磁场周期性变化时，线圈中产生交流电，根据电流热效应求出电动势的有效值，结合题意相同时间内线圈产生的热量相等，所以两种情况感应电动势相等，从而求出T

解答 解：设圆形金属线圈面积为S，当圆形线圈绕其一条直径匀速转动时，线圈中产生正弦交流电，感应电动势的最大值${E}_{1m}^{\;}={B}_{0}^{\;}Sω$
有效值${E}_{1}^{\;}=\frac{{E}_{1m}^{\;}}{\sqrt{2}}=\frac{{B}_{0}^{\;}Sω}{\sqrt{2}}$
图乙中感应电动势的大小不变，方向改变
感应电动势的大小$E=\frac{△B}{△t}S$=$\frac{{B}_{0}^{\;}}{\frac{T}{4}}•S$=$\frac{4{B}_{0}^{\;}}{T}•S$
根据楞次定律，0～$\frac{T}{4}$，感应电流沿逆时针方向；$\frac{T}{4}$～$\frac{T}{2}$，感应电流沿顺时针方向；$\frac{T}{2}$～$\frac{3}{4}T$，感应电流沿顺时针方向；$\frac{3}{4}T$～T，感应电流沿逆时针方向
画出感应电动势随时间变化的图象

根据电流的热效应，有
$\frac{{E}_{\;}^{2}}{R}•\frac{T}{2}+\frac{{E}_{\;}^{2}}{R}•\frac{T}{2}=\frac{{E}_{2}^{2}}{R}•T$
解得：${E}_{2}^{\;}=E=\frac{4{B}_{0}^{\;}}{T}•S$
根据题意，金属线圈在两种情况下，相同时间内产生的热量相等，所以甲、乙两电路的有效值相等
${E}_{1}^{\;}={E}_{2}^{\;}$
$\frac{{B}_{0}^{\;}Sω}{\sqrt{2}}=\frac{4{B}_{0}^{\;}}{T}•S$
其中：ω=2πf=100π
代入解得：$T=\frac{\sqrt{2}}{25π}$，故C正确，ABD错误；
故选：C

点评 本题考查有效值的求解，对于正弦交流电峰值是有效值的$\sqrt{2}$倍，对于非正弦交流电，要根据电流的热效应求有效值．