Question

4．直线电机是一种利用电磁驱动原理工作的电动机械，我们可以利用以下简单的模型粗浅地理解其工作原理．如图所示，一半径为r、电阻为R的细铜环质量为m，置于水平桌面（图中未画出该桌面）的圆孔上（孔径等于环内径）．另有一表面光滑的圆柱形磁棒（半径远大于绕制铜环的导线横截面的半径）竖直穿过圆孔和环，恰与孔、环不接触．磁棒产生的磁场方向沿半径方向向外，在环处的磁感应强度大小为B，磁棒下端足够长，重力加速度为g．
（1）若棒由静止开始竖直向上运动，其速度v与位移x的关系为v=kx（k为已知常量），当棒速度为v_a时环恰好对桌面压力为零，求v_a大小和此过程中环上产生的焦耳热Q；
（2）若棒以速度v_b（v_b＞v_a）竖直向上匀速运动，环离开桌面后经时间t达到最大速度，求此时间内环上升的高度h大小；
（3）如果保持材料和半径都不变，仅将绕制铜环的铜线加粗一些，试分析说明第（2）问中铜环增加的动能如何变化．

Answer 1

分析 （1）根据法拉第电磁感应定律结合磁棒与环之间的相对运动的速度，可求得产生的感应电动势，由欧姆定律可求得感应电流，对环受力分析，根据力的平衡列式即可求得环恰好对桌面压力为零时的速度，结合能量的转化和守恒定律可解的此过程中环上产生的焦耳热Q．
（2）设出环的最大速度，根据法拉第电磁感应定律结合磁棒与环之间的相对运动的速度，可求得此时产生的感应电动势，在由欧姆定律解得感应电流，当环达到最大速度时，环受力平衡，可由力的平衡列式，结合运动的规律即可求得此时间内环上升的高度h大小．
（3）根据质量的公式m=ρV以及电阻定律，再结合第（2）问中的受力平衡的式子联立即可判知速度的变化情况，结合质量的变化，继而可得知铜环增加的动能如何变化．

解答 解：（1）根据法拉第电磁感应定律，棒速度为v_a时产生的感应电动势为：E=B•2πr•v_a…①
感应电流为：I=$\frac{E}{R}$…②
当棒速度为v_a时环恰好对桌面压力为零，有：BI•2πr=mg…③
①②③联立得：v_a=$\frac{mgR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$…④
速度v与位移x的关系得：v_a=kx…⑤
过程中环上产生的焦耳热为：Q=$\frac{0+mg}{2}x$…⑥
联立④⑤⑥解得：Q=$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{8k{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$…⑦
（2）设环的最大速度为v，则有：
E₁=B•2πr•（v_b-v）…⑧
产生的感应电流为：I₁=$\frac{{E}_{1}}{R}$…⑨
同理可得：$\frac{{B}^{2}（2πr）^{2}（{v}_{b}-v）}{R}$=mg…⑩
在时间t内对环用动量定理，得：$\frac{{B}^{2}（2πr）^{2}\overline{△v}}{R}t$-mgt=mv-0…⑪
$\overline{△v}t$=△h…⑫
h=v_bt-△h…⑬
由⑧⑨⑩⑪⑫⑬联立得：
h=v_bt-${\frac{（mgt+m{v}_{b}-\frac{{m}^{2}gR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}）R}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}}^{\;}$…⑭
（3）设铜的密度为ρ，电阻率为ρ_电，铜线的横截面积为S，有：
m=ρ•2πr•S…⑮
R=ρ_电•$\frac{2πr}{S}$…⑯
由⑩⑮⑯联立解得：B²（v_b-v）=ρ•ρ_电
所以铜环最大速度v不变，由于m增大，所以这段时间内铜环增加的动能增大．
答：（1）若棒由静止开始竖直向上运动，其速度v与位移x的关系为v=kx（k为已知常量），当棒速度为v_a时环恰好对桌面压力为零，v_a大小和此过程中环上产生的焦耳热Q为$\frac{{m}^{2}{g}^{2}R}{8k{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}$．
（2）若棒以速度v_b（v_b＞v_a）竖直向上匀速运动，环离开桌面后经时间t达到最大速度，求此时间内环上升的高度h大小为v_bt-${\frac{（mgt+m{v}_{b}-\frac{{m}^{2}gR}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}）R}{4{B}^{2}{π}^{2}{r}^{2}}}^{\;}$．
（3）如果保持材料和半径都不变，仅将绕制铜环的铜线加粗一些，第（2）问中铜环增加的动能增大．

点评 该题是难度非常大一道题，解答该题，首先要熟练的掌握电磁感应定律及欧姆定律的应用，同时注意对环的受力情况变化的分析，注意临界状态的判断和分析，同时要求学生要有较强的对物理表达式的处理能力，这就要求学生要多进行这方面的训练．