Question

（2013?河池模拟）如图甲所示，一竖直平面内的轨道由粗糙斜面AD和光滑圆轨道DCE组成，AD与DCE相切于D点，C为圆轨道的最低点，将一小物块置于轨道ADC上离地面高为H处由静止释放，用力传感器测出其经过C点时对轨道的压力N，改变H的大小，
可测出相应的N的大小，N随H的变化关系如图乙折线PQI所示（PQ与QI两直线相连接于Q点），QI反向延长交纵轴于F点（0，5.8N），重力加速度g取10m/s²，求：
（1）求出小物块的质量m；圆轨道的半径R、轨道DC所对应的圆心角θ；
（2）小物块与斜面AD间的动摩擦因数μ．
（3）若要使小物块能运动到圆轨道的最高点E，则小物块应从离地面高为H处由静止释放，H为多少？

Answer 1

分析：（1）从图象得到H=0时的弹力，即为物体的重力，从而得到物体的质量m；
（2）结合图象可以得到当H=0.2m时，物体恰好在斜面最低点，根据机械能守恒定律和向心力公式联立列式求解出圆轨道的半径R，然后可根据几何关系得到轨道DC所对圆心角；
（3）对滑块从最高点到C点的过程运用动能定理列式，再对最低点运用向心力公式和牛顿第二定律列式，联立后求解出弹力的一般表达式，再根据图象求解出动摩擦因素．

解答：解：（1）如果物块只在圆轨道上运动，则由动能定理得mgH=

1

2

mv²解得v=

2gH

；
由向心力公式F_N-mg=m

v2

R

，得F_N=m

v2

R

+mg=

2mg

R

H+mg；
结合PQ曲线可知mg=5得m=0.5 kg．
由图象可知

2mg

R

=10得R=1 m．显然当H=0.2 m对应图中的D点，
所以cos θ=

1-0.2

1

=0.8，θ=37°．
（2）如果物块由斜面上滑下，由动能定理得：mgH-μmgcos θ

(H-0.2)

sinθ

=

1

2

mv²
解得mv²=2mgH-

8

3

μmg（H-0.2）
由向心力公式得FN=m

V2

R

+mg=

2mg- 8 3 μmg

R

H+

1.6

3

μmg+mg
由向心力公式F_N-mg=m

v2

R

得F_N=m

v2

R

+mg=

2mg-\f(8

3

μmg，R)H+

1.6

3

μmg+mg
结合QI曲线知

1.6

3

μmg+mg=5.8，解得μ=0.3．
（3）如果物块由斜面上滑下到最高点速度为v，
由动能定理得：mg（H-2R）-μmgcos θ

(H-0.2)

sinθ

=

1

2

mv² （1）
设物块恰能到达最高点：由向心力公式：mg=m

v2

R

               （2）
由（1）（2）式可得：H=15.1m
答：（1）求出小物块的质量m；圆轨道的半径R、轨道DC所对应的圆心角θ=37°；
（2）小物块与斜面AD间的动摩擦因数为0.3．
（3）若要使小物块能运动到圆轨道的最高点E，则小物块应从离地面高为15.1m处由静止释放．

点评：本题关键是对分析清楚滑块的各个运动过程，然后运用动能定理、机械能守恒定律和向心力公式，结合图象联立方程组求解．