Question

18．如图所示，在区域I和区域Ⅱ内分别存在匀强电场，电场强度大小均为E，但方向不同．在区域I内场强方向沿y轴正方向，区域Ⅱ内场强方向未标明，两处电场都处在xoy平面内．一质量为m，电量为q的正粒子从坐标原点O以某一初速度沿x轴正方向射入电场区域I，从P点进入电场区域Ⅱ，到达Ⅱ区域右边界Q处时速度恰好为零．P点的坐标为（L，$\frac{L}{2}$）．不计粒子所受重力，求：
（1）带电粒子射入电场区域I时的初速度；
（2）电场区域Ⅱ的宽度．

Answer 1

分析 看似复杂的题目，仔细分析实际上是两种基本运动的组合：类平抛运动和匀减速直线运动，由运动学公式和牛顿第二定律不难求出．
（1）粒子在Ⅰ区内做类平抛运动，由于已知P点的坐标，则类平抛运动的水平位移和竖直位移为已知，而电场强度已知，则加速度为已知．则由运动学公式和牛顿第二定律就能求出类平抛的初速度．
（2）进入Ⅱ区后，由于到达P点的速度为零，则从P到Q粒子是做匀减速直线运动，它的初速度就是类平抛的末速度v_p，而加速度已知，则由匀减速直线运动位移与速度的关系就能求出位移，从而求出Ⅱ区的宽度．

解答 解：（1）设带电粒子射入电场区域Ⅰ时的初速度为v₀
     在x轴正方向，粒子做匀速直线运动：L=v₀t      ①
     在y轴正方向，粒子做初速度为零的匀加速直线运动：$\frac{L}{2}=\frac{1}{2}a{t}^{2}$    ②
     由牛顿第二定律：$a=\frac{qE}{m}$   
     解得：${v}_{0}=\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
（2）粒子在区域Ⅱ做匀减速直线运动，设粒子在P处的速度v_p，x方向的分速度为v_px
      在y轴方向的分速度为v_py，电场区域Ⅱ的宽度为△x₂，则：
     ${v}_{px}={v}_{0}=\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
    ${{v}_{py}}^{2}=\sqrt{{{v}_{px}}^{2}+{{v}_{py}}^{2}}$  即 ${v}_{py}=\sqrt{\frac{qEL}{m}}$
    故 ${v}_{p}=\sqrt{{{v}_{px}}^{2}+{{v}_{py}}^{2}}$=$\sqrt{\frac{2qEL}{m}}$
   因为：$tgθ=\frac{{v}_{py}}{vpx}$   所以：$θ=\frac{π}{4}$
  设粒子从P做直线运动到Q所通过的位移为S，则有：
    $0-{{v}_{p}}^{2}=-2\frac{qEL}{m}S$
   解得：S=L
△x₂=Scos45°
   解得：△${x}_{2}=\frac{\sqrt{2}}{2}L$
答：（1）带电粒子射入电场区域I时的初速度为$\sqrt{\frac{qEL}{m}}$．
（2）电场区域Ⅱ的宽度为$\frac{\sqrt{2}}{2}L$．

点评 本题的怪点在于粒子在Ⅱ区内只说明是以一定的初速度进入匀强电场Ⅱ后，粒子到达Q点的速度为零．若是做曲线运动，则只能有最小的速度但不会为零，所以只能是在做匀减速直线运动到速度为零，这样问题就简单了．