Question

有一倾角θ=37°的硬杆，其上套有一下端固定于O点,劲度系数为k=100N/m的轻弹簧，弹簧的自由端位于硬杆上的Q处。硬杆OQ部分光滑，PQ部分粗糙，弹簧与杆间无摩擦。一个质量为m=1kg的小球套在此硬杆上，从P点由静止开始滑下，已知小球与硬杆间的动摩擦因数为μ=0.5，PQ间的距离为L=0.91m。弹簧的弹性势能与其形变量x的关系为，不计空气的阻力做功及小球与弹簧碰撞时的能量损失。（已知g＝10 m/s²，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8 ）。求：

（1）小球在运动过程中达到最大速度时弹簧的形变量是多少；

（2）小球在运动过程中所能达到的最大速度v_m；

（3）经过较长的时间后，系统能够处于稳定状态。试对这一稳定状态作简单描述。并求出整个过程中因摩擦而产生的热能。

Answer 1

解（1）当小球从P点无初速滑下时，弹簧被压缩至x处时小球的加速度为零，速度有最大值，因为硬杆OQ部分光滑，则有：                                                        （2分）

                       （1分）

（2）小球由P点无初速滑下至弹簧被压缩至x=0.06m处的过程中，对小球运用功能关系，有：                           （2分）

即       

代入数据得                                                              （2分）

（3）经过较长的时间后，小球将在Q点以下做来回往复式运动，小球的机械能与弹簧的弹性势能相互转化，整个系统处于稳定状态。                                                     （2分）

在不计空气的阻力做功及小球与弹簧碰撞时的能量损失的情况下，全过程中系统的机械能减小量即为整个过程中因摩擦而产生的热能。                                                   （2分）

                                        （2分）