Question

3．如图所示，倾角为θ的光滑斜面MNPQ的长为L，C点为斜面底边NP的中点，有一长为$\frac{L}{4}$的细线，细线的一端固定在O点，O点是斜面MNPQ的中心位置，另一端拴一质量为m的小球，使小球在斜面上做完整的圆周运动，不计空气阻力，小球可看成质点．求：
（1）若小球恰好做完整的圆周运动，通过最高点A时的速度v_A应该为多大？
（2）若小球恰好做完整的圆周运动通过A点时，细线因某种原因突然断裂，为保证小球不从MN边射出，则斜面底边NP的宽度d应满足何条件？
（3）若小球转到B点时细线突然断裂，小球恰好从距离C点为b的E点射出，则细线断裂的瞬间细线的拉力为多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，在A点时由重力的下滑分量恰好提供向心力，由牛顿第二定律求v_A．
（2）在A点细线突然断裂后，小球做类平抛运动，运用运动的分解法，由牛顿第二定律、运动学公式和临界条件求解．
（3）小球转到B点时细线突然断裂，之后小球做类平抛运动，由分位移公式求出小球通过B点的速度，再由牛顿第二定律求细线的拉力．

解答 解：（1）小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，在A点时由重力的下滑分量恰好提供向心力，由牛顿第二定律有：
  mgsinθ=m$\frac{{v}_{A}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得：v_A=$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$
（2）在A点细线断裂后，小球做类平抛运动，则
  $\frac{3}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
若不从MN边射出，应有 v_At≤$\frac{d}{2}$
解得 d≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$L
（3）若小球转到B点时细线突然断裂，之后小球类平抛到E点，则有
  $\frac{1}{4}$L=$\frac{1}{2}gsinθ{t}^{2}$
   b=v_Bt
在B点，由牛顿第二定律得：T-mgsinθ=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{\frac{L}{4}}$
解得 T=mgsinθ（1+$\frac{8{b}^{2}}{{L}^{2}}$）
答：（1）若小球恰好做完整的圆周运动，通过最高点A时的速度v_A应该为$\frac{\sqrt{gLsinθ}}{2}$．
（2）为保证小球不从MN边射出，则斜面底边NP的宽度d应满足何条件：d≥$\frac{\sqrt{6}}{2}$L．
（3）若小球转到B点时细线突然断裂，小球恰好从距离C点为b的E点射出，则细线断裂的瞬间细线的拉力是mgsinθ（1+$\frac{8{b}^{2}}{{L}^{2}}$）．

点评 本题关键是明确小球的运动规律，找到圆周运动时的向心力来源，对于类似平抛运动，根据分位移公式列式求解．要注意类平抛运动的加速度不是g，而是gsinθ．