Question

5．如图所示．位于竖直平面内的光滑轨道，由一段斜的直轨道和与之相切的圆轨道连接而成圆形轨道的半径为R，一质量为m的小物体从斜轨道上某处由静止开始下滑，然后沿圆轨道运动．要求物体能通过圆轨道最高点，且在最高点与轨道间的压力不超过3mg（g为重力加速度）．求物块初始位置相对圆形轨道底部的高度h的取值范围．

Answer 1

分析 要求物块相对于圆轨道底部的高度，必须求出物块到达圆轨道最高点的速度，在最高点物体做圆周运动的向心力由重力和轨道对物体的压力提供，当压力恰好为0时，h最小；当压力最大时，h最大．

解答 解：若物体恰好能够通过最高点，则有
mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得v₁=$\sqrt{gR}$
初始位置相对于圆轨道底部的高度为h₁，则根据机械能守恒可得
 mgh₁=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
解得h₁=2.5R
当小物块对最高点的压力为3mg时，
有 3mg+mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
解得v₂=2$\sqrt{gR}$
初始位置到圆轨道的底部的高度为h₂，
根据机械能守恒定律可得
 mgh₂=2mgR+$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
解得h₂=4R
故物块的初始位置相对于圆轨道底部的高度的范围为2.5R≤h≤4R．
答：物块的初始位置相对于圆轨道底部的高度的范围为2.5R≤h≤4R．

点评 物体在竖直平面内做圆周运动的过程中在最高点的最小速度必须满足重力等于向心力，这是我们解决此类问题的突破口．